Геометрическая фигура угол: определение угла, измерение углов, обозначения и примеры. Какие есть углы? Развернутый и неразвернутый угол
Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).
Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.
Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.
Основных типов углов всего четыре - прямой, тупой, острый и развернутый угол.
Прямой
Он выглядит так:
Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол - это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.
Тупой
Он имеет такой вид:
Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.
Острый
Он выглядит так:
Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.
Развернутый
Развернутый угол имеет такой вид:
В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол - это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.
Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:
1. Нулевой
Он выглядит так:
Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.
2. Косой
Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие - он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.
3. Выпуклый
Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла - от 0 о до 180 о.
4. Невыпуклый
Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.
5. Полный
Полным является угол с градусной мерой 360 о.
Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.
1. Дополнительные
Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.
2. Смежные
Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.
3. Вертикальные
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.
Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.
1. Центральный
Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.
2. Вписанный
Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.
Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных - острого, тупого, прямого и развернутого - в геометрии существует много других их видов.
Когда два луча (AO и OB ) исходят из одной точки, то фигура, сформированная этими лучами (вместе с частью плоскости, ограниченной ими), называется углом .
Лучи, образующие угол называются сторонами . Точка из которой они исходят - вершиной угла.
Стороны угла следует представлять себе бесконечно продолженными от вершины.
Угол обыкновенно обозначается тремя буквами, из которых средняя ставится у вершины , а крайние у каких-нибудь точек сторон. Например, говорят “угол АОВ или угол ВОА ”. Но можно обозначать угол и одной буквой, поставленной у вершины, если при этой вершине других углов нет. Мы иногда будем обозначать угол цифрой, поставленной внутри угла у вершины. Слово “угол” на письме часто заменяется знаком / .
Когда два луча исходят из одной точки , то строго говорят, что они образуют не один угол, а два угла.
Эти два угла равны друг другу лишь в том случае, когда лучи AO и OB составляют одну прямую .
Такой угол называют развернутым углом .
Два угла считаются равными углами , если при наложении они могут совместиться.
Мы принимаем как очевидное, что внутри всякого угла из его вершины можно провести луч (и притом только один), который делит этот угол пополам. Такой луч называется биссектрисой угла .
Два угла (AO B и BOС ) называются смежными , если одна сторона у них общая, а две другие стороны составляют прямую линию .
Черт 1. Черт.2
Когда два смежных угла равны (черт. 2), то общая сторона их OB называется перпендикуляром к прямой AC , на которой лежат другие стороны.
Если же смежные углы неравны (черт. 1), то общая сторона OB называется наклонной к AC .
В том и в другом случае точка O называется основанием (перпендикуляра или наклонной).
Из всякой точки прямой можно, по ту и другую сторону от этой прямой, восставить к ней перпендикуляр и притом только один.
Каждый из равных смежных углов называется прямым . Прямой угол представляет собой постоянную величину равную 90 0 (ее обыкновенно обозначают знаком d , т.е. начальной буквой французского слова «droit» - прямой). Вследствие этого обыкновенные углы сравнивают по величине с прямым углом.
Всякий развернутый углом равен 2 d = 180°.
Всякий угол (АОС ), меньший прямого угла (АОВ ) называется острым .
Всякий угол (AOD ) больший прямого называется тупым.
Разделы: Начальная школа
Класс: 4
Цели урока:
- Знакомство с понятиями «развёрнутый угол», «смежные углы». Уточнение понятия «острый» и «тупой» угол.
- Отработка решения задач на процентное содержание.
- Развитие мыслительных операций.
- Формирование целостного представления о мире.
Оборудование: циферблаты часов, веера, карандаши, наборы углов, учебники «Математика», 4 класс, Петерсон Г., толковый словарь русского языка.
Ход урока.
1. Организационный момент. Мотивация.
Учитель начинает урок со стихотворного обращения к детям:
Ну-ка проверь дружок
Ты готов начать урок?
Всё ль на месте, всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку «5».
Тут затеи и задачи,
Игры, шутки, всё для вас!
Пожелаем же удачи –
За работу, в добрый час!
– Итак, мы начинаем урок математики. А математика – это гимнастика для ума. Как вы думаете, почему возникло такое выражение? Зачем, по-вашему, нужно изучать математику?
2. Проверка домашнего задания.
Учитель обращается к детям.
– Ребята, дома вы должны были попытаться решить логическую задачу. Кто из вас справился с заданием? Скажите мне, догонит ли мышка кошку? (Нет. Кошке до норки надо пробежать 70 единичных отрезков, а мышке лишь 20. Кошка двигается со скоростью 10 единичных отрезков за единицу времени, а мышка – 3 единичных отрезка за единицу времени. До норки кошке потребуется 7 единиц времени, а мышке больше 6, но меньше 7. Поэтому кошка не догонит мышку).
– Чтобы проверить задание № 14, воспользуйтесь карточкой эталоном. У кого нет ни одной ошибки в этом задании? Молодцы!
– Что нужно было сделать в задании № 8 (Сравнить углы. Записать имя знаменитого правителя Древнего Египта, для которого была построена самая большая пирамида.)
– Какие углы изображены на рисунке? (2 острых, 1 прямой, 2 тупых).
– Для какого правителя была построена самая большая пирамида в Египте? (Фараона Хеопса).
– Кто вспомнит важнейшее открытие Древних Египтян, которым мы пользуемся до сих пор? (Календарь.)
3. Устный счет. Математическая разминка.
– Хотите узнать, какой город был столицей Древнего Египта в третьем тысячелетии до нашей эры?
– Выполните задание № 8, стр. 7.
– Работайте в парах, выполнив вычисления 2 алгоритмов. Можно работать по вариантам индивидуально, выполнив вычисления 1 алгоритма.
– Назовите полученные ответы. Впишем нужные буквы. Получилось название города
4. Целеполагание. Постановка проблемы.
– Кто может о себе так сказать?
Мне служит головой вершина,
А то, что вы считаете ногами,
Все называют сторонами.
Увеличить стороны мои, когда угодно
Вы можете совсем свободно,
Ведь я на плоскости.
Когда встречаются прямые,
Всегда мы будем между ними. (Угол)
– Итак, кто может предположить, какова тема нашего урока? (Угол.)
– А что такое угол? Два луча, выходящие из одной точки – вершины.
– Мы уже знакомы с понятием угла.
– Посмотрите на чертёж. Сколько видите углов? (Ученики предполагают, что их 4).
– Хотите найти ответ? Для этого нужно открыть новое знание. Кто готов?
– Предлагаю на уроке ответить на вопросы:
- Что такое развёрнутый угол?
- Какие углы называют смежными?
– Может кто-нибудь, уже знает ответ на эти вопросы?
– Каковы задачи урока? (Ученики формулируют задачи на урок).
- Ответить на вопросы, наблюдая, и сделать выводы.
- Учится находить новые виды углов.
5. Решение проблемы.
6. Физминутка.
Мы шагаем, мы шагаем,
Руки выше поднимаем,
Голову не опускаем,
Дышим ровно, глубоко.
Вдруг мы видим из куста,
Выпал птенчик из гнезда.
Тихо птенчика берём
И назад в гнездо кладём.
Впереди из-за куста
Смотрит хитрая лиса.
Мы лисицу обхитрим,
На носочках побежим.
На полянку мы заходим,
Много ягод там находим.
Земляника так душиста,
Что не лень нам наклониться.
7. Первичное закрепление.
– Будем учиться применять свои знания.
1-е задание.
– Какой угол образует часовая и минутная стрелки на циферблате часов в 6 часов, 14 часов, 15 ч.25 мин., 22 ч. 15 мин. (Учебники помощники после ответов учащихся показывают циферблат).
2-е задание.
– А теперь поработайте в группах. Совместно постройте из палочек или карандашей по одной модели угла: острого, тупого, прямого, развёрнутого. Достройте модель каждого угла так, чтобы получились смежные углы. (Учащиеся строят модели углов).
– Посчитайте, сколько карандашей вам для этого понадобилось?
3-е задание. Практическая работа.
– Ребята, предлагаю вам поработать в парах. Откройте учебник на странице 6, прочитайте задание № 3 (а). Выполните его вместе. Затем первый вариант выполнит задание № 3 (б), а второй вариант задание № 3 (в). Обсудите друг с другом полученный результат и приготовьтесь ответить на вопросы по данному заданию.
4-е задание. Практическая работа. Индивидуальное выполнение с последующим обсуждением и фронтальной проверкой.
Учитель предлагает учащимся следующее задание.
Возьмите конверт с заданием № 4. В нём находятся модели пяти различных углов. Найдите пару углов, которые будут смежными. Составьте из них новую модель. Запишите свои ответы на карточке. Приготовьтесь устно обосновать своё мнение.
Учитель проверяет правильность выполнения задания.
– Какие затруднения вы испытывали при выполнении задания? Оцените сложность заданий при помощи значков +, + /–, –.
8. Повторение. Решение задач на процентное содержание.
Учитель обращается к классу:
– Возьмите карточку № 5. Внимательно прочитайте условие задачи. Выберите правильный способ решения. Обсудите в группах правильность решения. Обоснуйте свой ответ.
– В чём было затруднение?
9. Итог урока.
– Ребята, на этом наш урок закончен. Вы сегодня хорошо поработали. Я вами очень довольна. Что нового вы узнали? Чему научились? Какое задание показалось вам наиболее сложным? О чем вам хотелось бы рассказать друзьям или родителям? Что бы вы хотели узнать по этой теме ещё?
10. Домашнее задание.
– Ребята, дома вы еще раз сможете проверить свои знания по данной теме, выполнив задание № 7 на странице 7.
– А для смекалистых и всех желающих предлагаю дополнительно выполнить задание № 15 или № 16 по выбору на странице 8.
С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура , что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.
Вконтакте
Когда изучаются
Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам :
- В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
- В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.
Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.
Определение и измерение
Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.
Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:
- вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
- стороны – полупрямые, проведенные из вершины.
Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части :
- внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
- внешняя.
Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.
Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.
Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.
Основные виды
Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.
По величине
Учитывая величину, углы разделяют на:
- развернутый;
- прямой;
- тупой;
- острый.
Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.
Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?
180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам . Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.
Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.
Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.
Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.
Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.
Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».
При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.
На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.
Фигуры при пересечении прямых
Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.
Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов .
Элементы в треугольнике
Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними .
Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.
Пересечение двух прямых секущей
Пересечение прямых
При пересечении двух прямых секущей также образуются углы , которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:
- внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
- внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
- соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.
В том случае, когда секущая пересекает две прямые, все эти пары углов имеют определённые свойства:
- Внутренние накрест лежащие и соответственные фигуры между собой равны.
- Внутренние односторонние элементы в сумме дают 180 градусов.
Изучаем углы в геометрии, их свойства
Виды углов в математике
Вывод
В этой статье представлены все основные виды углов, которые встречаются в планиметрии и изучаются в седьмом классе. Во всех последующих курсах свойства, касающихся всех рассмотренных элементов, являются основой для дальнейшего изучения геометрии. К примеру, изучая , необходимо будет вспомнить все свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. При изучении особенностей треугольников, необходимо вспомнить, что такое смежные углы. Перейдя в стереометрию, все объёмные фигуры будут изучаться и строиться, опираясь на планиметрические фигуры.
Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:
| Вид угла | Размер в градусах | Пример |
|---|---|---|
| Острый | Меньше 90° | |
| Прямой | Равен 90°. На чертеже прямой угол, обычно обозначают символом , проведённым от одной стороны угла до другой. |
 |
| Тупой | Больше 90°, но меньше 180° |  |
| Развёрнутый | Равен 180° Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов, а прямой угол составляет половину развёрнутого угла. |
 |
| Выпуклый | Больше 180°, но меньше 360° |  |
| Полный | Равен 360° |  |
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:
Углы MOP и PON смежные, так как луч OP - общая сторона, а две другие стороны - OM и ON составляют прямую.
Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой , на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром .
Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:
Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 - вертикальные.
Вертикальные углы равны.
Докажем, что вертикальные углы равны:
Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому - ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем.
