Inverzné goniometrické funkcie. Arcsínus, arkkozín - vlastnosti, grafy, vzorce Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

GRAFY FUNKCIÍ

sínusová funkcia

- kopa R všetky reálne čísla.

Sada funkčných hodnôt- segment [-1; 1], t.j. sínusová funkcia - obmedzené.

Funkcia nepárna: sin(−x)=−sin x pre všetky x ∈ R.

Periodická funkcia

sin(x+2π k) = sin x, kde k ∈ Z pre všetky x ∈ R.

hriech x = 0 pre x = π k, k ∈ Z.

hriech x > 0(kladné) pre všetky x ∈ (2π k , π+2π k ), k ∈ Z.

hriech x< 0 (záporné) pre všetky x ∈ (π+2π k , 2π+2π k ), k ∈ Z.

kosínusová funkcia

Rozsah funkcie- kopa R všetky reálne čísla.

Sada funkčných hodnôt- segment [-1; 1], t.j. kosínusová funkcia - obmedzené.

Rovnomerná funkcia: cos(−x)=cos x pre všetky x ∈ R.

Periodická funkcia s najmenšou kladnou periódou 2π:

cos(x+2π k) = cos x, kde k ∈ Z pre všetky x ∈ R.

cos x = 0 pri
cos x > 0 pre všetkých
cos x< 0 pre všetkých
Funkcia stúpa od -1 do 1 v intervaloch:
Funkcia klesá od -1 do 1 v intervaloch:
Najväčšia hodnota funkcie sin x = 1 v bodoch:
Najmenšia hodnota funkcie sin x = −1 v bodoch:

Funkcia dotyčnice

Sada funkčných hodnôt- celý číselný rad, t.j. dotyčnica – funkcia neobmedzené.

Funkcia nepárna: tg(−x)=−tg x
Graf funkcie je symetrický okolo osi OY.

Periodická funkcia s najmenšou kladnou periódou π, t.j. tg(x+π k) = tanx, k ∈ Z pre všetky x z oblasti definície.

kotangens funkcia

Sada funkčných hodnôt- celý číselný rad, t.j. kotangens - funkcia neobmedzené.

Funkcia nepárna: ctg(−x)=−ctg x pre všetky x v doméne.
Graf funkcie je symetrický okolo osi OY.

Periodická funkcia s najmenšou kladnou periódou π, t.j. ctg(x+π k)=ctgx, k ∈ Z pre všetky x z oblasti definície.

funkcia arcsínus

Rozsah funkcie- segment [-1; 1]

Sada funkčných hodnôt- segment -π / 2 arcsin x π / 2, t.j. arcsínus – funkcia obmedzené.

Funkcia nepárna: arcsin(−x)=−arcsin x pre všetky x ∈ R.
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku.

v celej oblasti definície.

Funkcia Arccosine

Rozsah funkcie- segment [-1; 1]

Sada funkčných hodnôt- segment 0 arccos x π, t.j. arkozín – funkcia obmedzené.

Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

arctangens funkcia

Rozsah funkcie- kopa R všetky reálne čísla.

Sada funkčných hodnôt je segment 0 π, t.j. oblúková tangenta - funkcia obmedzené.

Funkcia nepárna: arctg(−x)=−arctg x pre všetky x ∈ R.
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku.

Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

Oblúková kotangens funkcia

Rozsah funkcie- kopa R všetky reálne čísla.

Sada funkčných hodnôt je segment 0 π, t.j. oblúková tangenta - funkcia obmedzené.

Funkcia nie je párna ani nepárna.
Graf funkcie nie je asymetrický ani podľa pôvodu, ani podľa osi Oy.

Funkcia sa znižuje v celej oblasti definície.

Úlohy súvisiace s inverznými goniometrickými funkciami sú často ponúkané na školských záverečných skúškach a na prijímacích skúškach na niektoré univerzity. Podrobné štúdium tejto témy je možné dosiahnuť len na mimoškolských hodinách alebo vo výberových predmetoch. Navrhovaný kurz je navrhnutý tak, aby čo najúplnejšie rozvíjal schopnosti každého študenta, aby sa zlepšila jeho matematická príprava.

Kurz je určený na 10 hodín:

1. Funkcie arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 hodiny).

2. Operácie s inverznými goniometrickými funkciami (4 hodiny).

3. Inverzné goniometrické operácie na goniometrických funkciách (2 hodiny).

Lekcia 1 (2 hodiny) Téma: Funkcie y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Účel: úplné pokrytie tohto problému.

1. Funkcia y \u003d arcsin x.

a) Pre funkciu y \u003d sin x na segmente existuje inverzná (jednohodnotová) funkcia, ktorú sme sa dohodli na volať arcsínus a označovať ju takto: y \u003d arcsin x. Graf inverznej funkcie je symetrický s grafom hlavnej funkcie vzhľadom na os súradnicových uhlov I - III.

Vlastnosti funkcie y = arcsin x .

1) Rozsah definície: segment [-1; 1];

2) Oblasť zmeny: rez ;

3) Funkcia y = arcsin x nepárne: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcia y = arcsin x je monotónne rastúca;

5) Graf pretína osi Ox, Oy v počiatku.

Príklad 1. Nájdite a = arcsin . Tento príklad možno podrobne sformulovať takto: nájdite taký argument a , ležiaci v rozsahu od do , ktorého sínus sa rovná .

Riešenie. Existuje nespočetné množstvo argumentov, ktorých sínus je , napríklad: atď. Nás však zaujíma len argument , ktorý je na intervale . Tento argument bude. Takže, .

Príklad 2. Nájdite .Riešenie. Ak budeme argumentovať rovnakým spôsobom ako v príklade 1, dostaneme .

b) ústne cvičenia. Nájdite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Vzorová odpoveď: , pretože . Dávajú výrazy zmysel: ; arcsin 1,5; ?

c) Usporiadajte vzostupne: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcie y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (podobne).

Lekcia 2 (2 hodiny) Téma: Inverzné goniometrické funkcie, ich grafy.

Účel: v tejto lekcii je potrebné rozvíjať zručnosti pri určovaní hodnôt goniometrických funkcií, pri vykresľovaní inverzných goniometrických funkcií pomocou D (y), E (y) a potrebných transformácií.

V tejto lekcii vykonajte cvičenia, ktoré zahŕňajú nájdenie domény definície, rozsahu funkcií typu: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Je potrebné zostaviť grafy funkcií: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsín; f) y = arcsín; g) y = | arcsin | .

Príklad. Nakreslíme y = arccos

Do domácej úlohy môžete zahrnúť nasledujúce cvičenia: zostavte grafy funkcií: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafy inverzných funkcií

Téma lekcie č. 3 (2 hodiny):

Operácie s inverznými goniometrickými funkciami.

Účel: rozšíriť matematické vedomosti (je to dôležité pre uchádzačov o odbory so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu) zavedením základných vzťahov pre inverzné goniometrické funkcie.

Lekčný materiál.

Niektoré jednoduché goniometrické operácie s inverznými goniometrickými funkciami: hriech (arcsin x) \u003d x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Cvičenia.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Nech arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arcsin x) = ; hriech (arccos x) = .

Poznámka: Znamienko „+“ berieme pred koreň, pretože a = arcsin x spĺňa .

c) hriech (1,5 + arcsin).Odpoveď:;

d) ctg ( + arctg 3) Odpoveď: ;

e) tg (- arcctg 4) Odpoveď: .

f) cos (0,5 + arccos) . Odpoveď: .

Vypočítať:

a) hriech (2 arctan 5) .

Nech arctg 5 = a, potom sin 2 a = alebo hriech(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Odpoveď: 0,28.

c) arctg + arctg.

Nech a = arctg , b = arctg ,

potom tan(a + b) = .

d) hriech (arcsin + arcsin).

e) Dokážte, že pre všetky x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .

dôkaz:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = hriech (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Pre samostatné riešenie: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Pre domáce riešenie: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Lekcia č. 4 (2 hodiny) Téma: Operácie s inverznými goniometrickými funkciami.

Účel: v tejto lekcii ukázať použitie pomerov pri transformácii zložitejších výrazov.

Lekčný materiál.

ÚSTNE:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

NAPÍSANÉ:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Nezávislá práca pomôže určiť úroveň asimilácie materiálu

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) hriech (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Za domácu úlohu môžete ponúknuť:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) hriech (2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Lekcia č. 5 (2h) Téma: Inverzné goniometrické operácie s goniometrickými funkciami.

Cieľ: vytvoriť u študentov pochopenie inverzných goniometrických operácií na goniometrických funkciách, zamerať sa na zvýšenie zmysluplnosti študovanej teórie.

Pri štúdiu tejto témy sa predpokladá, že množstvo teoretického materiálu na zapamätanie je obmedzené.

Materiál na lekciu:

Môžete sa začať učiť nový materiál preskúmaním funkcie y = arcsin (sin x) a jej vykreslením.

3. Každé x I R je spojené s y I, t.j.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcia je nepárna: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graf y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

takže,

Po zostavení y = arcsin (sin x) na , pokračujeme symetricky okolo počiatku na [- ; 0], berúc do úvahy zvláštnosť tejto funkcie. Pomocou periodicity pokračujeme na celú číselnú os.

Potom napíšte nejaké pomery: arcsin (sin a) = a ak<= a <= ; arccos (cos a ) = a ak je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

A urobte nasledujúce cvičenia: a) arccos (sin 2) Odpoveď: 2 - ; b) arcsín (cos 0,6) Odpoveď: - 0,1; c) arctg (tg 2).Odpoveď: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Odpoveď: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)).Odpoveď: 2 -; f) arcsín (sin (- 0,6)). Odpoveď: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odpoveď: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odpoveď: - 0,6; - arktanx; e) arccos + arccos

Definícia a zápis

Arcsine (y = arcsin x) je inverzná funkcia sínusu (x = hriešny -1 ≤ x ≤ 1 a množina hodnôt -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsínus sa niekedy označuje ako:
.

Graf funkcie arcsínus

Graf funkcie y = arcsin x

Arkussínusový graf sa získa zo sínusového grafu zámenou úsečky a osi y. Na odstránenie nejednoznačnosti je rozsah hodnôt obmedzený na interval, v ktorom je funkcia monotónna. Táto definícia sa nazýva hlavná hodnota arcsínusu.

Arccosine, arccos

Definícia a zápis

Oblúkový kosínus (y = arccos x) je inverzná hodnota ku kosínusu (x = pretože y). Má to rozsah -1 ≤ x ≤ 1 a mnoho hodnôt 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arkozín sa niekedy označuje ako:
.

Graf funkcie arkozínu

Graf funkcie y = arccos x

Arkozínový graf sa získa z kosínusového grafu zámenou úsečky a osi y. Na odstránenie nejednoznačnosti je rozsah hodnôt obmedzený na interval, v ktorom je funkcia monotónna. Táto definícia sa nazýva hlavná hodnota arc cosinus.

Parita

Funkcia arcsínus je nepárna:
arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Funkcia arkozínu nie je párna ani nepárna:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Vlastnosti - extrémy, zvýšenie, zníženie

Funkcie arksínus a arkkozín sú spojité na svojej doméne definície (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti arcsínu a arkozínu sú uvedené v tabuľke.

	y= arcsin x	y= arccos x
Rozsah a kontinuita	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Rozsah hodnôt
Stúpajúci klesajúci	zvyšuje monotónne	klesá monotónne
Maximá
Lows
Nuly, y= 0	x= 0	x= 1
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabuľka arcsínusov a arkozínusov

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty arcsínusov a arkozínusov v stupňoch a radiánoch pre niektoré hodnoty argumentu.

X	arcsin x		arccos x
	stupeň	rád.	stupeň	rád.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135 °C
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Vzorce

Pozri tiež: Odvodenie vzorcov pre inverzné goniometrické funkcie

Vzorce súčtu a rozdielu

pri alebo

v a

v a

pri alebo

v a

v a

pri

pri

pri

pri

Výrazy v zmysle logaritmu, komplexné čísla

Pozri tiež: Odvodzovanie vzorcov

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

Deriváty

;
.
Pozri Odvodenie arkzínu a derivátov arkkozínu > > >

Deriváty vyšších rádov:
,
kde je polynóm stupňa . Určuje sa podľa vzorcov:
;
;
.

Pozri Odvodenie derivátov arczínu a arkkozínu vyššieho rádu >> >

Integrály

Urobíme substitúciu x = hriech t. Integrujeme po častiach, berúc do úvahy, že -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Arkosínus vyjadrujeme arksínusom:
.

Rozšírenie v sérii

Pre |x|< 1 dochádza k nasledujúcemu rozkladu:
;
.

Inverzné funkcie

Prevrátené hodnoty arksínusu a arkkozínu sú sínus a kosínus.

Nasledujúce vzorce sú platné v celej oblasti definície:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Nasledujúce vzorce platia len pre množinu hodnôt arcsínusu a arkozínu:
arcsin(sin x) = x pri
arccos(cos x) = x v .

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Pozri tiež: