Objem rotačného telesa zadaný parametricky. Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu. Ako nájsť oblasť v tomto prípade

Prednášky 8. Aplikácie určitého integrálu.

Aplikácia integrálu na fyzikálne problémy je založená na vlastnosti aditívnosti integrálu na množine. Preto pomocou integrálu možno vypočítať také veličiny, ktoré sú samy osebe aditívne k množine. Napríklad plocha postavy sa rovná súčtu plôch jej častí. Dĺžka oblúka, plocha povrchu, objem tela, telesná hmotnosť majú rovnakú vlastnosť. Preto je možné všetky tieto veličiny vypočítať pomocou určitého integrálu.

Na riešenie problémov môžete použiť dva spôsoby: metóda integrálnych súčtov a metóda diferenciálov.

Metóda integrálnych súčtov opakuje konštrukciu určitého integrálu: zostrojí sa priečka, označia sa body, vypočíta sa v nich funkcia, vypočíta sa integrálny súčet a urobí sa prechod na limitu. Pri tejto metóde je hlavným problémom dokázať, že v limite sa ukáže presne to, čo je v probléme potrebné.

Metóda diferenciálov využíva neurčitý integrál a Newtonov - Leibnizov vzorec. Vypočíta sa rozdiel hodnoty, ktorá sa má určiť, a potom sa integrovaním tohto diferenciálu získa požadovaná hodnota pomocou Newton-Leibnizovho vzorca. Pri tejto metóde je hlavným problémom dokázať, že je to rozdiel požadovanej hodnoty, ktorý bol vypočítaný, a nie niečo iné.

Výpočet plôch plochých figúrok.

1. Obrázok je obmedzený grafom funkcie špecifikovanej v karteziánskom súradnicovom systéme.

Dospeli sme k pojmu určitého integrálu problému oblasti krivočiareho lichobežníka (v skutočnosti pomocou metódy integrálnych súčtov). Ak funkcia nadobúda iba nezáporné hodnoty, potom sa plocha pod grafom funkcie na segmente môže vypočítať pomocou určitého integrálu. Všimni si preto tu vidno aj metódu diferenciálov.

Funkcia však môže nadobudnúť záporné hodnoty na určitom segmente, potom integrál nad týmto segmentom poskytne zápornú oblasť, čo je v rozpore s definíciou oblasti.

Plochu môžete vypočítať pomocou vzorcaS=. To sa rovná zmene znamienka funkcie v tých oblastiach, v ktorých nadobúda záporné hodnoty.

Ak potrebujete vypočítať plochu obrázku ohraničenú hore grafom funkcie a zdola grafom funkcie, potom môžete použiť vzorecS= , pretože .

Príklad. Vypočítajte plochu útvaru ohraničenú priamkami x = 0, x = 2 a grafmi funkcií y = x 2, y = x 3.

Všimnite si, že na intervale (0,1) platí nerovnosť x 2> x 3 a pre x> 1 nerovnosť x 3> x 2. Takže

2. Obrázok je obmedzený grafom funkcie špecifikovanej v polárnom súradnicovom systéme.

Nech je graf funkcie daný v polárnom súradnicovom systéme a chceme vypočítať plochu krivočiareho sektora ohraničeného dvoma lúčmi a graf funkcie v polárnom súradnicovom systéme.

Tu môžete použiť metódu integrálnych súčtov, vypočítajúc plochu krivočiareho sektora ako hranicu súčtu plôch elementárnych sektorov, v ktorých je graf funkcie nahradený oblúkom kruhu. .

Môžete tiež použiť metódu diferenciálov: .

Môžete uvažovať takto. Nahradením elementárneho krivočiareho sektora zodpovedajúceho strednému rohu kruhovým sektorom máme pomer. Odtiaľ ... Integráciou a použitím vzorca Newton - Leibniz dostaneme .

Príklad. Vypočítajme plochu kruhu (skontrolujte vzorec). My veríme. Plocha kruhu je .

Príklad. Vypočítajte oblasť ohraničenú kardioidom .

3 Obrázok je obmedzený grafom parametricky zadanej funkcie.

Funkciu je možné zadať parametricky vo formulári. Používame vzorec S= , pričom do nej dosadíme hranice integrácie vzhľadom na novú premennú. ... Zvyčajne sa pri výpočte integrálu vyberajú tie oblasti, kde má integrand určité znamienko a berie sa do úvahy zodpovedajúca oblasť s jedným alebo druhým znamienkom.

Príklad. Vypočítajte plochu ohraničenú elipsou.

Pomocou symetrie elipsy vypočítajte plochu štvrtiny elipsy umiestnenej v prvom kvadrante. V tomto kvadrante. Takže .

Výpočet objemov telies.

1. Výpočet objemov telies podľa plôch rovnobežných rezov.

Nech je potrebné vypočítať objem telesa V zo známych prierezových plôch tohto telesa rovinami kolmými na priamku OX vedenú cez ľubovoľný bod x úseku priamky OX.

Aplikujme metódu diferenciálov. Ak vezmeme do úvahy elementárny objem, na segmente objemu rovného kruhového valca so základnou plochou a výškou dostaneme ... Integráciou a aplikáciou Newtonovho - Leibnizovho vzorca získame

2. Výpočet objemov rotačných telies.

Nech je potrebné vypočítať VÔL.

Potom .

podobne, objem rotujúceho telesa okolo osiOY, ak je funkcia uvedená vo formulári, možno vypočítať podľa vzorca.

Ak je funkcia špecifikovaná v zobrazení a chcete určiť objem rotačného telesa okolo osiOY, potom vzorec na výpočet objemu možno získať nasledovne.

Prechod na diferenciál a zanedbávanie kvadratických členov máme ... Máme integráciu a aplikáciu vzorca Newton - Leibniz.

Príklad. Vypočítajte objem lopty.

Príklad. Vypočítajte objem pravého kruhového kužeľa ohraničeného plochou a rovinou.

Objem vypočítame ako objem rotačného telesa vytvoreného rotáciou okolo osi OZ pravouhlého trojuholníka v rovine OXZ, ktorého nohy ležia na osi OZ a priamka z = H a prepona leží na priamku.

Vyjadrením x pomocou z dostaneme .

Vypočítajte dĺžku oblúka.

Ak chcete získať vzorce na výpočet dĺžky oblúka, zapamätajte si vzorce pre diferenciál dĺžky oblúka odvodené v semestri 1.

Ak je oblúk grafom spojito diferencovateľnej funkcie rozdiel dĺžky oblúka možno vypočítať podľa vzorca

... Takže

Ak je hladký oblúk definovaný parametricky, potom

... Takže .

Ak je oblúk špecifikovaný v polárnom súradnicovom systéme, potom

... Takže .

Príklad. Vypočítajte dĺžku oblúka grafu funkcie,. .

Predtým, ako prejdeme k vzorcom pre oblasť rotačnej plochy, uvedieme stručnú formuláciu samotnej rotačnej plochy. Rotačný povrch, alebo, čo je to isté - povrch rotačného telesa - priestorový útvar vytvorený rotáciou segmentu AB krivka okolo osi Vôl(obrázok nižšie).

Predstavte si krivočiary lichobežník ohraničený zhora spomínaným segmentom krivky. Teleso vytvorené rotáciou tohto lichobežníka okolo rovnakej osi Vôl a je tu revolúcia. A oblasť rotačného povrchu alebo povrchu rotačného telesa je jeho vonkajší plášť, nepočítajúc kruhy vytvorené rotáciou okolo osi priamych čiar X = a a X = b .

Všimnite si, že rotačné teleso, a teda aj jeho povrch, možno vytvoriť aj otáčaním figúry nie okolo osi Vôl a okolo osi Oj.

Výpočet plochy rotačnej plochy zadanej v pravouhlých súradniciach

V rovine rovnicou uveďte pravouhlé súradnice r = f(X) je daná krivka, ktorej rotáciu okolo súradnicovej osi tvorí rotačné teleso.

Vzorec na výpočet plochy otáčania je nasledujúci:

(1).

Príklad 1 Nájdite povrchovú plochu paraboloidu vytvorenú rotáciou okolo osi Vôl oblúk paraboly zodpovedajúci zmene X od X= 0 až X = a .

Riešenie. Vyjadrime explicitne funkciu, ktorá definuje oblúk paraboly:

Poďme nájsť deriváciu tejto funkcie:

Pred použitím vzorca na nájdenie plochy rotačnej plochy napíšeme tú časť jeho integrandu, ktorá je koreňom, a dosadíme deriváciu, ktorú sme tam práve našli:

Odpoveď: dĺžka oblúka krivky je

.

Príklad 2 Nájdite povrchovú plochu rotácie okolo osi Vôl astroidov.

Riešenie. Stačí vypočítať plochu povrchu vyplývajúcu z rotácie jednej vetvy astroidea nachádzajúceho sa v prvej štvrtine a vynásobiť ho 2. Z rovnice astroidea explicitne vyjadríme funkciu, ktorú musíme vo vzorci nahradiť nájdite oblasť rotácie:

.

Vykonávame integráciu od 0 do a:

Výpočet plochy rotačnej plochy danej parametricky

Uvažujme prípad, keď krivka tvoriaca rotačnú plochu je daná parametrickými rovnicami

Potom sa plocha otáčania vypočíta podľa vzorca

(2).

Príklad 3 Nájdite oblasť rotačnej plochy vytvorenej rotáciou okolo osi Oj obrazec ohraničený cykloidou a priamkou r = a... Cykloida je daná parametrickými rovnicami

Riešenie. Nájdite priesečníky cykloidy a priamky. Stotožnenie rovnice cykloidy a rovnice priamky r = a, nájdeme

Z toho vyplýva, že hranice integrácie zodpovedajú

Teraz môžeme použiť vzorec (2). Poďme nájsť deriváty:

Napíšme radikálový výraz vo vzorci, pričom nahradíme nájdené deriváty:

Poďme nájsť koreň tohto výrazu:

.

Dosaďte nájdené vo vzorci (2):

.

Urobme náhradu:

A nakoniec nájdeme

Pri transformácii výrazov sa použili trigonometrické vzorce

Odpoveď: povrchová plocha rotácie sa rovná.

Výpočet plochy rotačnej plochy uvedenej v polárnych súradniciach

Krivka, ktorej rotáciou vzniká plocha, nech je daná v polárnych súradniciach.

Rovnako ako pri probléme s hľadaním oblasti potrebujete sebavedomé kreslenie - to je takmer najdôležitejšia vec (keďže samotné integrály budú často jednoduché). Pomocou metodických materiálov a Geometrických transformácií grafov si osvojíte kompetentnú a rýchlu techniku ​​grafov. Ale v skutočnosti som už opakovane hovoril o dôležitosti kresieb v lekcii.

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte, pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu obrazca, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, plochu otáčania, a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejaký plochý obrazec v rovine súradníc. Prezentovali ste? ... Zaujímalo by ma, kto čo prezentoval ... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x;
- okolo zvislej osi.

Tento článok sa bude týkať oboch prípadov. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie prakticky rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa vrátim k problém nájsť oblasť postavy, a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani tak bonus, ako materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom odstreďovania.

plochá postava okolo osi

Príklad 1

Vypočítajte objem tuhej látky získanej rotáciou tvaru ohraničeného čiarami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy... To znamená, že na rovine je potrebné postaviť postavu ohraničenú čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako urobiť kresbu efektívnejšie a rýchlejšie, zistíte na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií a Určitý integrál. Ako vypočítať plochu tvaru... Toto je čínska pripomienka a v tomto bode sa už nezastavím.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je zatienená modrou farbou, je to ona, ktorá sa otáča okolo osi.V dôsledku rotácie sa získa taký mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale referenčná kniha je príliš lenivá na to, aby niečo objasnila, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať podľa vzorca:

Vo vzorci musí byť pred integrálom číslo. Stalo sa to - všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Ako nastaviť hranice integrácie "a" a "bh", myslím, je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Poďme sa pozrieť na výkres. Plochý obrazec je ohraničený parabolovým grafom v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických cvičeniach môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je na druhú: teda integrál je vždy nezáporný, čo je celkom logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál je takmer vždy jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom tele revolúcie je približne 3,35 "kociek". Prečo práve kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko malých zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného čiarami,

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Zvážte dve zložitejšie úlohy, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného otočením obrazca ohraničeného priamkami okolo osi x a

Riešenie: Nakreslite na výkres plochý obrazec ohraničený čiarami,,,, pričom nezabudnite, že rovnica definuje os:

Hľadaný tvar je vytieňovaný modrou farbou. Keď ním otočíte okolo osi, dostanete taký neskutočný donut so štyrmi rohmi.

Objem rotačného telesa sa vypočíta ako rozdiel v objemoch tela.

Najprv sa pozrime na tvar vyznačený červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa.

Zvážte tvar, ktorý je načrtnutý v zelenej farbe... Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jeho objem cez.

A je zrejmé, že rozdiel v objemoch je presne taký, ako je objem našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Tvar zakrúžkovaný červenou farbou je zhora ohraničený priamkou, preto:

2) Tvar vyznačený zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, takže:

3) Objem hľadaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné riešenie je často skrátené, napríklad takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme si niečo o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, ktoré Perelman (iný) v knihe zaznamenal Zaujímavá geometria... Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek za celý život vypije tekutinu s objemom miestnosti 18 metrov štvorcových, ktorá sa naopak zdá byť príliš malá.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR naozaj najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, vydaná ešte v roku 1950, veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, uvažovanie a učí nás hľadať originálne neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to dostupné aj pre humanitné vedy. Nie, netreba sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široký rozhľad v komunikácii je skvelá vec.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť tvorivú úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vzniknutého rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami, kde.

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Upozorňujeme, že všetky veci prebiehajú v páse, inými slovami, hotové integračné limity sú skutočne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, dovoľte mi pripomenúť vám lekciu o geometrické transformácie grafov: ak je argument deliteľný dvoma:, potom sa grafy roztiahnu pozdĺž osi dvakrát. Je žiaduce nájsť aspoň 3-4 body pomocou trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo osi y je tiež pomerne častým hosťom testov. Po ceste sa bude zvažovať problém nájsť oblasť postavy druhým spôsobom - integrácia pozdĺž osi, to vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí, ako nájsť najziskovejšie riešenie. Aj toto má v živote praktický význam! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka vyučovacích metód vyučovania matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a riadime zamestnancov optimálnym spôsobom.“ Pri tejto príležitosti jej tiež vyjadrujem svoju hlbokú vďaku, najmä preto, že nadobudnuté vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam každému, aj úplným čajníkom, na čítanie. Okrem toho asimilácia materiálu v druhej časti poskytne neoceniteľnú pomoc pri výpočte dvojitých integrálov.

Príklad 5

Dostanete plochú postavu ohraničenú čiarami,,.

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný rotáciou plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete najskôr prečítať len druhý odsek nevyhnutne prečítajte si prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Vykonajte kreslenie:

Je ľahké vidieť, že funkcia definuje hornú vetvu paraboly a funkcia definuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná číslica, ktorej oblasť sa má nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.

Ako nájsť oblasť tvaru? Dá sa nájsť „zvyčajným“ spôsobom, o ktorom sa hovorilo v lekcii Určitý integrál. Ako vypočítať plochu tvaru... Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:
- na segmente ;
- na segmente.

Takže:

Čo je v tomto prípade zlé na zvyčajnom riešení? Po prvé, existujú dva integrály. Po druhé, korene pod integrálmi a korene v integráloch nie sú darom, navyše sa človek môže zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú smrteľné, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre úlohu vybral lepšie funkcie.

Existuje racionálnejší spôsob riešenia: spočíva v prechode na inverzné funkcie a integrácia pozdĺž osi.

Ako sa dostanem k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „X“ cez „Y“. Poďme sa najprv zaoberať parabolou:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné vytiahnuť zo spodnej vetvy:

S priamou čiarou je všetko jednoduchšie:

Teraz sa pozrime na os: prosím, pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Tvar, ktorý potrebujeme, leží na segmente označenom červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte: ... Čo sa zmenilo vo vzorci? Iba list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť stanovené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdite oblasť:

V segmente teda:

Venujte pozornosť tomu, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku zadania bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí majú pochybnosti o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodný integrand, čo znamená, že integrácia je vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Tvar vytieňovaný modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíte prejsť na inverzné funkcie. Toto už bolo urobené a podrobne opísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otočte tvar nakreslený červenou farbou okolo osi, čím vznikne zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok cez.

Otočte tvar, zakrúžkovaný v zelenej farbe, okolo osi a označte ho cez objem výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

A tu je integračná výhoda, o ktorej som nedávno hovoril, oveľa jednoduchšie ju nájsť než najprv povýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Avšak chorľavý motýľ.

Všimnite si, že ak otočíte tú istú plochú postavu okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, samozrejme s iným objemom.

Príklad 6

Dostanete plochú postavu ohraničenú čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť plochej postavy ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Záujemcovia môžu tiež nájsť oblasť figúry "obvyklým" spôsobom, a tým skontrolovať bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov zadania na konci vyučovacej hodiny.

Ach, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili telá revolúcie a v rámci integrácie!

Keď sme prišli na geometrický význam určitého integrálu, dostali sme vzorec, pomocou ktorého môžeme nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou x, priame čiary x = a, x = b, ako aj spojitá (nezáporná alebo nekladná) funkcia y = f (x). Niekedy je vhodnejšie definovať funkciu, ktorá ohraničuje tvar v parametrickom tvare, t.j. vyjadrujú funkčnú závislosť cez parameter t. V rámci tohto materiálu si ukážeme, ako môžete nájsť plochu figúry, ak je ohraničená parametricky definovanou krivkou.

Po vysvetlení teórie a odvodení vzorca analyzujeme niekoľko typických príkladov na nájdenie oblasti takýchto čísel.

Základný vzorec pre výpočet

Predpokladajme, že máme krivočiary lichobežník, ktorého hranice sú priamky x = a, x = b, os O x a parametricky definovaná krivka x = φ (t) y = ψ (t) a funkcie x = φ ( t) a y = ψ (t) sú spojité na intervale α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Definícia 1

Na výpočet plochy lichobežníka za takýchto podmienok musíte použiť vzorec S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.

Odvodili sme to zo vzorca pre oblasť krivočiareho lichobežníka S (G) = ∫ a b f (x) d x substitučnou metódou x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Definícia 2

Berúc do úvahy monotónny pokles funkcie x = φ (t) na intervale β; a, p< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ak funkcia x = φ (t) nepatrí medzi základné elementárne, potom si musíme pripomenúť základné pravidlá zvyšovania a klesania funkcie na intervale, aby sme určili, či bude rastúca alebo klesajúca.

V tejto časti analyzujeme niekoľko úloh na použitie vyššie odvodeného vzorca.

Príklad 1

Podmienka: Nájdite oblasť obrazca, ktorý tvorí čiara, daná rovnicami tvaru x = 2 cos t y = 3 sin t.

Riešenie

Máme parametricky definovanú čiaru. Graficky sa dá zobraziť ako elipsa s dvoma poloosami 2 a 3. Pozri ilustráciu:

Skúsme nájsť plochu 1 4 výsledného obrazca, ktorý zaberá prvý kvadrant. Oblasť je v intervale x ∈ a; b = 0; 2. Potom vynásobíme výslednú hodnotu 4 a nájdeme plochu celého obrázku.

Tu je priebeh našich výpočtov:

x = φ (t) = 2 náklady = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Keď sa k rovná 0, dostaneme interval β; a = 0; π 2. Monotónne na nej bude klesať funkcia x = φ (t) = 2 cos t (bližšie v článku o základných elementárnych funkciách a ich vlastnostiach). Takže môžete použiť vzorec na výpočet plochy a nájsť určitý integrál pomocou vzorca Newton-Leibniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - hriech 2 π 2 2 - 0 - hriech 2 0 2 = 3 π 2

To znamená, že plocha obrázku daná pôvodnou krivkou bude S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Odpoveď: S (G) = 6 π

Objasnime, že pri riešení vyššie uvedeného problému bolo možné vziať nielen štvrtinu elipsy, ale aj jej polovicu - hornú alebo dolnú. Jedna polovica sa bude nachádzať na intervale x ∈ a; b = -2; 2. V tomto prípade by sme dostali:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Pre k rovné 0 teda dostaneme β; a = 0; π. Funkcia x = φ (t) = 2 cos t na tomto intervale bude monotónne klesať.

Potom vypočítame plochu polovice elipsy:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Je dôležité poznamenať, že je možné vziať iba hornú alebo spodnú časť a nie je možné vziať pravú alebo ľavú stranu.

Môžete vytvoriť parametrickú rovnicu pre danú elipsu so stredom v počiatku. Bude mať tvar x = a cos t y = b sin t. Rovnakým spôsobom ako vo vyššie uvedenom príklade získame vzorec na výpočet plochy elipsy S el an s a = πab.

Kružnicu, ktorej stred sa nachádza v počiatku, môžete určiť pomocou rovnice x = R · cos t y = R · sin t, kde t je parameter a R je polomer tejto kružnice. Ak okamžite použijeme vzorec pre oblasť elipsy, dostaneme vzorec, pomocou ktorého môžeme vypočítať plochu kruhu s polomerom R: S k r y r a = πR 2.

Pozrime sa ešte na jeden problém.

Príklad 2

podmienka: nájdite, aká bude plocha obrazca, ktorá je ohraničená parametricky danou krivkou x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Riešenie

Hneď si ujasnime, že táto krivka vyzerá ako podlhovastý astroid. Zvyčajne sa astroid vyjadruje pomocou rovnice v tvare x = a cos 3 t y = a sin 3 t.

Teraz sa pozrime bližšie na to, ako takúto krivku postaviť. Stavajme na samostatných bodoch. Toto je najbežnejšia metóda a je použiteľná pre väčšinu úloh. Zložitejšie príklady vyžadujú diferenciálny počet na odhalenie parametricky definovanej funkcie.

Máme x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Tieto funkcie sú definované pre všetky platné hodnoty t. Pre hriech a cos je známe, že sú periodické a ich perióda je 2 pi. Výpočet hodnôt funkcií x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t pre niektoré t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8, π 4, 3 π 8, π 2,. ... ... , 15 π 8, dostaneme body x 0; yo = (φ (to); ψ (to)).

Vytvorme tabuľku súčtov:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Potom označte potrebné body v rovine a spojte ich jednou čiarou.

Teraz musíme nájsť oblasť tej časti tvaru, ktorá je v prvej súradnicovej štvrtine. Pre ňu x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Ak k je 0, potom dostaneme interval β; a = 0; π 2 a funkcia x = φ (t) = 3 cos 3 t na ňom monotónne klesajú. Teraz vezmeme vzorec oblasti a vypočítame:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin = 2 t) d ∫ 0 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Získali sme určité integrály, ktoré možno vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. Primitívne deriváty pre tento vzorec možno nájsť pomocou vzorca opakovania J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x), kde J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - náklady t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - náklady t sin 3 t 4 + 3 4 - náklady t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos . 3 t 4 - 3 náklady t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - náklady t sin 3 t 4 - 3 náklady t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 16 3 ∫ sin 6 tdt = - cena t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cena t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 06 ∀ 2 + 5 06 ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cena t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 06 ∀ s 6 3 π 16 = 15 π 96

Vypočítali sme plochu štvrtiny čísla. Rovná sa 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Ak túto hodnotu vynásobíme 4, dostaneme plochu celého obrázku - 9 π 4.

Presne rovnakým spôsobom môžeme dokázať, že plochu astroidu danú rovnicami x = a cos 3 ty = a sin 3 t môžeme nájsť vzorcom S a stroid s = 3 πa 2 8 a plocha obrázku, ktorá je ohraničená priamkou x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t, sa vypočíta podľa vzorca S = 3 πab 8.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

V lekciách o rovnica priamky v rovine a rovnice priamky v priestore.

Zoznámte sa so starým priateľom:

Zakrivený lichobežník hrdo korunuje graf, a ako viete, jeho plocha sa vypočíta pomocou určitého integrálu elementárnym vzorcom alebo, ak je kratší:.

Predstavte si situáciu, kedy rovnakú funkciu v parametrickej forme.

Ako nájdete oblasť v tomto prípade?

Pre niektoré veľmi špecifické hodnotu parametra, parametrické rovnice určia súradnice bodu a s iným veľmi špecifické hodnota - súradnice bodu. Keď sa "te" zmení z na vrátane, parametrické rovnice len "nakreslia" krivku. Myslím, že všetko sa vyjasnilo o hraniciach integrácie. Teraz k integrálu namiesto"X" a "hra" nahradíme funkcie a otvoríme diferenciál:

Poznámka : predpokladá sa, že funkcie nepretržitý na intervale integrácie a okrem toho aj funkcie monotónna Na neho.

Vzorec pre objem rotačného telesa je rovnako jednoduchý:

Objem telesa získaného otáčaním zakriveného lichobežníka okolo osi sa vypočíta podľa vzorca alebo: . Dosadíme do nej parametrické funkcie, ako aj hranice integrácie:

Zadajte prosím oba pracovné vzorce do vašej príručky.

Podľa mojich pozorovaní sú problémy s nájdením objemu pomerne zriedkavé, a preto bude značná časť príkladov v tejto lekcii venovaná hľadaniu oblasti. Neodkladáme záležitosť na neurčito:

Príklad 1

Vypočítajte plochu zakriveného lichobežníka , ak

Riešenie: používame vzorec .

Klasický problém na tému, ktorý sa dá riešiť kedykoľvek a kdekoľvek:

Príklad 2

Vypočítajte plochu elipsy

Riešenie: pre definitívnosť predpokladáme, že parametrické rovnice definujú kanonická elipsa so stredom v počiatku, hlavnou polosou „a“ a vedľajšou polosou „bé“. To znamená, že podľa podmienky sa nám neponúka nič viac ako

nájsť oblasť elipsy

Je zrejmé, že parametrické funkcie sú periodické a. Zdá sa, že môžete účtovať vzorec, ale nie všetko je také transparentné. Poďme zistiť smer, v ktorom parametrické rovnice „kreslia“ elipsu. Ako pomôcku nájdeme niekoľko bodov, ktoré zodpovedajú najjednoduchším hodnotám parametra:

Je ľahké vidieť, že keď sa parameter „te“ zmení z nuly na „dve pi“, parametrické rovnice „nakreslia“ elipsu proti smeru hodinových ručičiek:


Kvôli symetrii obrázku vypočítame časť plochy v 1. súradnicovej štvrtine a výsledok vynásobíme 4. Tu pozorujeme v podstate rovnaký obrázok, ktorý som okomentoval trochu vyššie: parametrické rovnice „nakresli " oblúk elipsy "v opačnom smere" osi, ale plošné čísla sa počítajú zľava doprava! Takže nižšie integračná hranica zodpovedá hodnote, a top limit - hodnota.

Ako som už avizoval na lekcii Oblasť v polárnych súradniciach, štvornásobok výsledku je lepší Naraz:

Integrál (ak má niekto zrazu takú neuveriteľnú medzeru) sa v lekcii rozoberie Integrály goniometrických funkcií.

Odpoveď:

V skutočnosti sme odvodili vzorec na nájdenie oblasti elipsa... A ak v praxi narazíte na problém so špecifickými hodnotami „a“ a „bh“, potom môžete ľahko vykonať vyrovnanie / kontrolu, pretože problém je vyriešený vo všeobecnej forme.

Plocha elipsy je vypočítaná v pravouhlých súradniciach, preto je potrebné z rovnice vyjadriť „hru“ a vyriešiť úlohu presne podľa príkladu č. 4 článku. Efektívne metódy riešenia určitých integrálov... Nezabudnite sa pozrieť na tento príklad a porovnajte, o koľko jednoduchšie je vypočítať plochu elipsy, ak je definovaná parametricky.

A samozrejme som skoro zabudol, že parametrické rovnice môžu definovať kružnicu alebo elipsu v nekanonickej polohe.

Príklad 3

Vypočítajte plochu jedného oblúka cykloidy

Ak chcete vyriešiť problém, musíte vedieť, čo je cykloida alebo aspoň formálne vykonať kresbu. Vzorový dizajn na konci lekcie. Do ďalekých krajín vás však nepošlem, graf tejto čiary si môžete pozrieť v nasledujúcej úlohe:

Príklad 4

Riešenie: parametrické rovnice dať cykloidu a obmedzenie naznačuje skutočnosť, že o tom hovoríme prvý oblúk, ktorý sa „vykreslí“, keď sa v ňom zmení hodnota parametra. Všimnite si, že tu je „správny“ smer tohto „nákresu“ (zľava doprava), čo znamená, že nebudú žiadne problémy s limitmi integrácie. Ale potom sa objaví kopa ďalších skvelých vecí =) Rovnica je nastavená rovno rovnobežne s osou x a dodatočnou podmienkou (cm. lineárne nerovnosti) hovorí nám, aby sme vypočítali plochu nasledujúceho obrázku:

Hľadanú tieňovanú postavu budem asociatívne nazývať „strecha domu“, obdĺžnik „stena domu“ a celú konštrukciu (stena + strecha) „fasáda domu“. Aj keď táto konštrukcia vyzerá skôr ako nejaký kravín =)

Na nájdenie plochy „strechy“ je potrebné odpočítať plochu „steny“ od plochy „fasády“.

Poďme sa najskôr zaoberať „fasádou“. Ak chcete nájsť jeho oblasť, musíte zistiť hodnoty, ktoré nastavujú priesečníky priamky s prvým oblúkom cykloidy (body a). Dosaďte do parametrickej rovnice:

Goniometrickú rovnicu je ľahké vyriešiť jednoduchým pohľadom kosínusový pozemok: na intervale dva korene spĺňajú rovnosť:. V zásade je všetko jasné, ale hrajme na istotu a dosaďte ich do rovnice:

- toto je "x" súradnica bodu;

- a toto je "x" súradnica bodu.

Preto sme sa uistili, že hodnota parametra zodpovedá bodu a hodnota zodpovedá bodu.

Vypočítajme plochu „fasády“. Pre kompaktnejší zápis je funkcia často diferencovaná priamo pod integrálom:

Plochu „steny“ je možné vypočítať pomocou „školskej“ metódy vynásobením dĺžok priľahlých strán obdĺžnika. Dĺžka je zrejmá, zostáva nájsť. Vypočíta sa ako rozdiel medzi súradnicami „x“ bodov „tse“ a „be“ (ktoré sa našli skôr):

Plocha steny:

Samozrejme, nie je hanba nájsť to pomocou toho najjednoduchšieho určitý integrál z funkcie na segmente:

Výsledkom je, že oblasť „strechy“:

Odpoveď:

A samozrejme, v prítomnosti kresby, pomocou buniek zistíme, či je získaný výsledok podobný pravde. Podobný.

Ďalšia úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 5

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami danými rovnicami

Stručne systematizujeme algoritmus riešenia:

- Vo väčšine prípadov budete musieť dokončiť kresbu a určiť postavu, ktorej oblasť chcete nájsť.

- V druhom kroku by ste mali pochopiť, ako sa vypočíta požadovaná plocha: môže to byť jeden krivočiary lichobežník, môže to byť rozdiel v plochách, možno súčet plôch - skrátka všetky tie čipy, ktoré sme uvažovali v lekciu.

- V treťom kroku je potrebné analyzovať, či je vhodné použiť symetriu obrazca (ak je symetrická) a následne zistiť hranice integrácie (počiatočnú a konečnú hodnotu parametra). Zvyčajne je na to potrebné vyriešiť najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu - tu môžete použiť analytickú metódu, grafickú metódu alebo dômyselný výber potrebných koreňov pomocou trigonometrická tabuľka.

! Nezabudniže parametrické rovnice môžu „kresliť“ čiaru sprava doľava, v tomto prípade urobíme príslušnú výhradu a úpravu v pracovnom vzorci.

- A v záverečnej fáze sa vykonávajú technické výpočty. Vždy je príjemné hodnotiť vierohodnosť odpovede získanej z kresby.

A teraz dlho očakávané stretnutie s hviezdou:

Príklad 6

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami danými rovnicami

Riešenie: krivka daná rovnicami je astroid a lineárna nerovnosť jednoznačne identifikuje tieňovaný obrázok na výkrese:

Nájdite hodnoty parametrov, ktoré určujú priesečníky priamky a astroidu. Aby sme to dosiahli, dosadíme do parametrickej rovnice:

Metódy riešenia takejto rovnice už boli uvedené vyššie, najmä tieto korene sa dajú ľahko vybrať trigonometrická tabuľka.

Obrázok je symetrický okolo úsečky, takže vypočítajme hornú polovicu plochy (modré tieňovanie) a výsledok zdvojnásobíme.

Dosaďte hodnotu do parametrickej rovnice:
V dôsledku toho sa získa "herná" súradnica horného (pre nás potrebného) priesečníka astroidu a priamky.

Pravý vrch astroidu zjavne zodpovedá hodnote. Pre každý prípad skontrolujeme:
, ktorý bolo potrebné overiť.

Rovnako ako v prípade elipsy, parametrické rovnice „kreslia“ oblúk astroidu sprava doľava. Koncovku pre zmenu usporiadam druhým spôsobom: keď sa parameter zmení v medziach, funkcia sa zníži, preto (nezabudnite zdvojnásobiť !!):

Integrál sa ukázal ako dosť ťažkopádny a aby sme sem „neťahali všetko“, je lepšie prerušiť riešenie a transformovať integrand samostatne. Štandardné znížiť stupeň cez trigonometrické vzorce:

Vhodné, v poslednom termíne uveďme funkciu pod diferenciálne znamienko:

Odpoveď:

Áno, s hviezdami je to trochu ťažké =)

Ďalšia úloha pre pokročilých:

Príklad 7

Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami danými rovnicami

Na vyriešenie bude dostatok materiálov, ktoré sme už zvážili, ale obvyklá cesta je veľmi dlhá a teraz vám poviem o ďalšej účinnej metóde. Myšlienka je v skutočnosti známa z tutoriálu. Výpočet plochy pomocou určitého integrálu Je integrácia cez premennú "hra" a použitie vzorca ... Nahradením parametrických funkcií dostaneme zrkadlový pracovný vzorec:

Ozaj, prečo je horší ako ten „štandardný“? To je ďalšia výhoda parametrickej formy - rovníc schopný hrať úlohu nielen „obyčajného“, ale súčasne a inverzná funkcia.

V tomto prípade sa predpokladá, že funkcie nepretržitý na intervale integrácie a funkcie monotónna Na neho. Navyše, ak klesá na integračnom intervale (parametrické rovnice „kreslia“ graf „v opačnom smere“ (Pozor!!) osi), potom by sa podľa už uvažovanej technológie mali preusporiadať hranice integrácie alebo na začiatku dať „mínus“ pred integrál.

Riešenie a odpoveď z príkladu č. 7 na konci lekcie.

Posledná miničasť je venovaná zriedkavejšiemu problému:

Ako nájsť objem rotačného telesa,
ak je tvar obmedzený parametricky definovanou čiarou?

Aktualizujeme vzorec zobrazený na začiatku lekcie: ... Všeobecná technika riešenia je úplne rovnaká ako pri hľadaní oblasti. Zo svojho prasiatka vytiahnem pár úloh.