• Вводный урок бесплатно ;
• Большое число опытных преподавателей (нейтивов и русскоязычных);
• Курсы НЕ на определенный срок (месяц, полгода, год), а на конкретное количество занятий (5, 10, 20, 50);
• Более 10 000 довольных клиентов.
• Стоимость одного занятия с русскоязычным преподавателем - от 600 рублей , с носителем языка - от 1500 рублей

Понятие вариационного ряда. Первым шагом систематизации материалов статистического наблюдения является подсчет числа единиц, обладающих тем или иным признаком. Расположив единицы в порядке возрастания или убывания их количественного признака и подсчитав число единиц с конкретным значением признака, получаем вариационный ряд. Вариационный ряд характеризует распределение единиц определенной статистической совокупности по какому–либо количественному признаку.

Вариационный ряд представляет собой две колонки, в левой колонке приводятся значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые (x), а в правой – абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается каждый вариант. Показатели этой колонки называются частотами и обозначаются (f).

Схематично вариационный ряд можно представить в виде табл.5.1:

Таблица 5.1

Вид вариационного ряда

Варианты (x)	Частоты (f)

В правой колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуют частостями и условно обозначают через , т.е. . Сумма всех частостей равна единице. Частости могут быть выражены и в процентах, и тогда их сумма будет равна 100%.

Варьирующие признаки могут носить разный характер. Варианты одних признаков выражаются в целых числах, например, число комнат в квартире, число изданных книг и т.д. Эти признаки именуют прерывными, или дискретными. Варианты других признаков могут принимать любые значения в определенных пределах, как, например, выполнение плановых заданий, заработная плата и др. Эти признаки называют непрерывными.

Дискретный вариационный ряд. Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд называют дискретным, его внешний вид представлен в табл. 5.2:

Таблица 5.2

Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене

Оценки (х)	Количество студентов (f)	В % к итогу ()

Характер распределения в дискретных рядах изображается графически в виде полигона распределения, рис.5.1.

Рис. 5.1. Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене.

Интервальный вариационный ряд. Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся интервальные, т.е. значения признака в них выражаются в виде интервалов «от и до». При этом минимальное значение признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей интервала.

Интервальные вариационные ряды строят как для прерывных признаков (дискретных), так и для варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами. В экономической практике в большинстве своем применяются неравные интервалы, прогрессивно возрастающие или убывающие. Такая необходимость возникает особенно в тех случаях, когда колеблемость признака осуществляется неравномерно и в больших пределах.

Рассмотрим вид интервального ряда с равными интервалами, табл. 5.3:

Таблица 5.3

Распределение рабочих по выработке

Выработка, т.р. (х)	Число рабочих (f)	Кумулятивная частота (f´)

Интервальный ряд распределения графически изображается в виде гистограммы, рис.5.2.

Рис.5.2. Распределение рабочих по выработке

Накопленная (кумулятивная) частота. В практике возникает потребность в преобразовании рядов распределения в кумулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам. С их помощью можно определить структурные средние, которые облегчают анализ данных ряда распределения.

Накопленные частоты определяются путем последовательного прибавления к частотам (или частостям) первой группы этих показателей последующих групп ряда распределения. Для иллюстрации рядов распределения используются кумуляты и огивы. Для их построения на оси абсцисс отмечаются значения дискретного признака (или концы интервалов), а на оси ординат – нарастающие итоги частот (кумулята), рис.5.3.

Рис. 5.3. Кумулята распределения рабочих по выработке

Если шкалы частот и вариантов поменять местами, т.е. на оси абсцисс отражать накопленные частоты, а на оси ординат – значения вариантов, то кривая, характеризующая изменение частот от группы к группе, будет носит название огивы распределения, рис.5.4.

Рис. 5.4. Огива распределения рабочих по выработке

Вариационные ряды с равными интервалами обеспечивают одно из важнейших требований, предъявляемых к статистическим рядам распределения, обеспечение сравнимости их во времени и пространстве.

Плотность распределения. Однако частоты отдельных неравных интервалов в названных рядах непосредственно не сопоставимы. В подобных случаях для обеспечения необходимой сравнимости исчисляют плотность распределения, т.е. определяют, сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

При построении графика распределения вариационного ряда с неравными интервалами высоту прямоугольников определяют пропорционально не частотам, а показателям плотности распределения значений изучаемого признака в соответствующих интервалах.

Составление вариационного ряда и его графическое изображение является первым шагом обработки исходных данных и первой ступенью анализа изучаемой совокупности. Следующим шагом в анализе вариационных рядов является определение основных обобщающих показателей, именуемых характеристиками ряда. Эти характеристики должны дать представление о среднем значении признака у единиц совокупности.

Средняя величина . Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая ее типический уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Перед вычислением средних величин необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, а для каждой группы – групповыми средними.

Существуют две разновидности средних величин: степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая); структурные (мода, медиана, квартили, децили).

Выбор средней для расчета зависит от цели.

Виды степенных средних и методы их расчета. В практике статистической обработки собранного материала возникают различные задачи, для решения которых требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

где средняя величина; x – отдельные варианты (значения признаков); z – показатель степени (при z = 1 – средняя арифметическая, z = 0 средняя геометрическая, z = - 1 – средняя гармоническая, z = 2 – средняя квадратическая).

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в каждом отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Наиболее часто встречающимся в статистике видом средних величин является средняя арифметическая . Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется различными способами:

Если данные несгруппированные, то расчет ведется по формуле простой средней величины

Расчет средней арифметической в дискретном ряду происходит по формуле 3.4.

Расчет средней арифметической в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду, где за величину признака в каждой группе условно принимается середина интервала, средняя арифметическая может отличаться от средней, рассчитанной по несгруппированным данным. Причем, чем больше величина интервала в группах, тем больше возможные отклонения средней, вычисленной по сгруппированным данным, от средней, рассчитанной по несгруппированным данным.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. А затем рассчитывают среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые позволяют упрощать вычисления, рассмотрим их.

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Если х = а. Тогда .

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится.

Если все веса f уменьшить в k раз, то .

3. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю, т.е.

Если , то . Отсюда .

Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты x на a , т.е. x ´ = x – a.

Тогда

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к уменьшенной средней ранее вычтенное из вариантов числа a , т.е. .

5. Если все варианты уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в k раз.

Пусть , тогда .

Отсюда , т.е. для получения средней первоначального ряда среднюю арифметическую нового ряда (с уменьшенными вариантами) надо увеличить в k раз.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая это величина обратная средней арифметической. Ее используют, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение (М= xf). Средняя гармоническая будет рассчитываться по формуле 3.5

Практическое применение средней гармонической – для расчета некоторых индексов, в частности, индекса цен.

Средняя геометрическая. При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая компания заключает договоры на оказание услуг автострахования. В зависимости конкретного страхового случая страховая выплата может колебаться от 10000 до 100000 долл. в год. Средняя сумма выплат по страховке составит долл.

Средняя геометрическая это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии, когда z = 0. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел.

Формулы для расчета следующие

где – варианты осредняемого признака; – произведение вариантов; f – частота вариантов.

Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста.

Средняя квадратическая. Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле

В экономических исследованиях средняя квадратическая в измененном виде широко используется при расчете показателей вариации признака, таких как дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Правило мажорантности. Между степенными средними существует следующая зависимость – чем больше показатель степени, тем больше значение средней, табл.5.4:

Таблица 5.4

Соотношение между средними величинами

Значение z
Соотношение между средними

Это соотношение называется правилом мажорантности.

Структурные средние величины. Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода, медиана, квартили и децили.

Мода. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом), регистрации цен. Мод в совокупности может быть несколько.

Расчет моды в дискретном ряду. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. Рассмотрим нахождение моды в дискретном ряду.

Расчет моды в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Для интервального ряда мода будет определяться формулой

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частота, соответствующая модальному интервалу; – частота, предшествующая модальному интервалу; – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана. Медианой () называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. Ранжированный ряд – это ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания. Или медиана это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Чтобы найти медиану, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица и все делится на два. При четном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер который определяется по общей сумме частот, деленной на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти ее значение.

Расчет медианы в дискретном ряду. По данным выборочного обследования получены данные о распределении семей по числу детей, табл. 5.5. Для определения медианы сначала определим ее порядковый номер

=

Затем построим ряд накопленных частот (, по порядковому номеру и накопленной частоте найдем медиану. Накопленная частота 33 показывает, что в 33 семьях количество детей не превышает 1 ребенка, но так как номермедианы 50, то медиана будет находится в промежутке с 34 по 55 семью.

Таблица 5.5

Распределение числа семей от количества детей

Число детей в семье

Количество семей, –величина медианного интервала; Все рассмотренные формы степенной средней обладают важным свойством (в отличие от структурных средних) – в формулу определения средней входят все значения ряда т.е. на размеры средней оказывают влияние значение каждого варианта. С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин, воздействующих на все единицы изучаемой совокупности. С другой стороны, даже одно наблюдение, попавшее в исходные данные случайно, может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности (особенно в коротких рядах). Квартили и децили. По аналогии с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, в частности, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части, на 10 и т.п. Квартили. Варианты, которые делят ранжированный ряд на четыре равные части, называют квартилями. При этом различают: нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ¼ к ¾ и верхний (или третий) квартиль(Q3) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящий совокупность в соотношении ¾ к ¼. Второй квартиль, есть медиана Q2 = Ме. Нижний и верхний квартили в интервальном ряду рассчитываются по формуле аналогично медиане. где – нижняя граница интервала, содержащего соответственно нижний и верхний квартиль; – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний или верхний квартиль; – частоты квартильных интервалов (нижнего и верхнего) Интервалы, в которых содержатся Q1 и Q3 определяют по накопленным частотам (или частостям). Децили. Кроме квартилей рассчитывают децили – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей. Обозначаются они через D, первый дециль D1 делит ряд в соотношении 1/10 и 9/10, второй D2 – 2/10 и 8/10 и т.д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана и квартили. И медиана, и квартили, и децили принадлежат к так называемым порядковым статистикам, под которым понимают вариант, занимающий определенное порядковое место в ранжированном ряду.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности непостоянны, более или менее различаются между собой.

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака.

Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Задачи статистического изучения вариации:

• 1) изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности;
• 2) определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности.

В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация.

Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник [Текст]/ О.Ю. Ермолаев. - М.: Изд-во Флинта Московского психолого-социального института, 2012. - 335с.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

Различают вариацию в пространстве и вариацию во времени.

Под вариацией в пространстве понимают колеблемость значений признака у единиц совокупности, представляющих отдельные территории. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Для изучения вариации в рядах распределения проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - самое наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения (fi). Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты, который может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Выражается формулой:

где Хmax, Хmin - максимальное и минимальное значения признака в совокупности; n - число групп.

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям колеблемости относят коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

Пример нахождения вариационного ряда

Задание. По данной выборке:

• а) Найти вариационный ряд;
• б) Построить функцию распределения;

№=42. Элементы выборки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

• а) построение ранжированного вариационного ряда:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:

Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.

Рис. 1 Объем продаж магазином товара за определенный промежуток времени

Метод группировок позволяет также измерить вариацию (изменчивость, колеблемость) признаков. При относительно малом числе единиц совокупности вариация измеряется на основе ранжированного ряда единиц, образующих совокупность. Ряд называется ранжированным, если единицы расположены по возрастанию (убыванию) признака.

Однако ранжированные ряды довольно малопоказательны тогда, когда необходима сравнительная характеристика вариации. Кроме того, во многих случаях приходится иметь дело со статистическими совокупностями, состоящими из большого числа единиц, которые практически трудно представить в виде конкретного ряда. В связи с этим для первоначального общего ознакомления со статистическими данными и особенно для облегчения изучения вариации признаков исследуемые явления и процессы обычно объединяют в группы, а результаты группировки оформляют в виде групповых таблиц.

Если в групповой таблице имеется всего две графы - группы по выделенному признаку (варианты) и численности групп (частоты или частости), она называется рядом распределения.

Ряд распределения - простейшая разновидность структурной группировки по одному признаку, отображенная в групповой таблице с двумя графами, в которых содержатся варианты и частоты признака. Во многих случаях с такой структурной группировки, т.е. с составления рядов распределения, начинается изучение исходного статистического материала.

Структурная группировка в виде ряда распределения может быть превращена в подлинную структурную группировку, если выделенные группы будут охарактеризованы не только частотами, но и другими статистическими показателями. Главное предназначение рядов распределения - изучение вариации признаков. Теорию рядов распределения подробно разрабатывает математическая статистика.

Ряды распределения делят на атрибутивные (группировка по атрибутивным признакам, например деление населения по полу, национальности, семейному положению и т.д.) и вариационные (группировка по количественным признакам).

Вариационный ряд представляет собой групповую таблицу, которая содержит две графы: группировку единиц по одному количественному признаку и численность единиц в каждой группе. Интервалы в вариационном ряду образуются обычно равные и закрытые. Вариационным рядом является следующая группировка населения России по величине среднедушевых денежных доходов (табл. 3.10).

Таблица 3.10

Распределение численности населения России по величине среднедушевых доходов в 2004-2009 гг.

Группы населения по величине среднедушевых денежных доходов, руб./мес	Численность населения в группе, в % к итогу
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Свыше 25 000,0
Все население

Вариационные ряды в свою очередь подразделяются на дискретные и интервальные. Дискретные вариационные ряды объединяют варианты дискретных признаков, изменяющихся в узких пределах. Примером дискретного вариационного ряда может служить распределение российских семей по числу имеющихся детей.

Интервальные вариационные ряды объединяют варианты либо непрерывных признаков, либо изменяющихся в широких пределах дискретных признаков. Интервальным является вариационный ряд распределения населения России по величине среднедушевых денежных доходов.

Дискретные вариационные ряды на практике применяются не слишком часто. Между тем составление их несложно, поскольку состав групп определяется конкретными вариантами, которыми реально обладают изучаемые группировочные признаки.

Более широко распространены интервальные вариационные ряды. При их составлении возникает сложный вопрос о количестве групп, а также о величине интервалов, которые должны быть установлены.

Принципы решения этого вопроса изложены в главе о методологии построения статистических группировок (см. параграф 3.3).

Вариационные ряды представляют собой средство свертывания или сжатия многообразной информации в компактную форму, по ним можно составить достаточно ясное суждение о характере вариации, изучить различия признаков явлений, входящих в исследуемую совокупность. Но важнейшее значение вариационных рядов состоит в том, что на их основе исчисляются особые обобщающие характеристики вариации (см. главу 7).

Группировка – это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку.

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора Вы сможете:

• построить вариационный ряд , построить гистограмму и полигон;
• найти показатели вариации (среднюю, моду (в т.ч. и графическим способом), медиану, размах вариации, квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, коэффициент вариации и другие показатели);

Инструкция . Для группировки ряда необходимо выбрать вид получаемого вариационного ряда (дискретный или интервальный) и указать количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример группировки статистических данных).

Если группировка уже осуществлена и заданы дискретный вариационный ряд или интервальный ряд , то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Показатели вариации . Проверка гипотезы о виде распределения производится с помощью сервиса Изучение формы распределения .

Виды статистических группировок

Вариационный ряд . В случае наблюдений дискретной случайной величины одно и то же значение можно встретить несколько раз. Такие значения x i случайной величины записывают с указанием n i числа раз его появления в n наблюдениях, это и есть частота данного значения.
В случае непрерывной случайной величины на практике применяют группировку.

1. Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно разнородной совокупности на классы, социально–экономические типы, однородные группы единиц. Для построения данной группировки используйте параметр Дискретный вариационный ряд.
2. Структурной называется группировка , в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому–либо варьирующему признаку. Для построения данной группировки используйте параметр Интервальный ряд.
3. Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой (см. аналитическая группировка ряда).

Пример №1 . По данным таблицы 2 постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ. По полученным рядам распределения определите: прибыль в среднем на один коммерческий банк, кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк, модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили, размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение :
В разделе «Вид статистического ряда» выбираем Дискретный ряд. Нажимаем Вставить из Excel . Количество групп: по формуле Стэрджесса

Принципы построения статистических группировок

Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом . Группировочным признаком называется признак, по которому производится разбивка совокупности на отдельные группы. Его называют основанием группировки. В основание группировки могут быть положены как количественные, так и качественные признаки.
После определения основания группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность.

При использовании персональных компьютеров для обработки статистических данных группировка единиц объекта производится с помощью стандартных процедур.
Одна из таких процедур основана на использовании формулы Стерджесса для определения оптимального числа групп:

k = 1+3,322*lg(N)

Где k – число групп, N – число единиц совокупности.

Длину частичных интервалов вычисляют как h=(x max -x min)/k

Затем подсчитывают числа попаданий наблюдений в эти интервалы, которые принимают за частоты n i . Малочисленные частоты, значения которых меньше 5 (n i < 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В качестве новых значений вариант берут середины интервалов x i =(c i-1 +c i)/2.

Пример №3 . В результате 5%-ной собственно-случайной выборки получено следующее распределение изделий по содержанию влаги. Рассчитайте: 1) средний процент влажности; 2) показатели, характеризующие вариацию влажности.
Решение получено с помощью калькулятора : Пример №1

Построить вариационный ряд. По найденному ряду построить полигон распределения, гистограмму, кумуляту. Определить моду и медиану.
Скачать решение

Пример . По результатам выборочного наблюдения (выборка А приложение):
а) составьте вариационный ряд;
б) вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты;
в) постройте полигон;
г) составьте эмпирическую функцию распределения;
д) постройте график эмпирической функции распределения;
е) вычислите числовые характеристики: среднее арифметическое, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Решение

На основе данных, приведенных в Таблице 4 (Приложение 1) и соответствующих Вашему варианту, выполнить:

1. На основе структурной группировки построить вариационный частотный и кумулятивный ряды распределения, используя равные закрытые интервалы, приняв число групп равным 6. Результаты представить в виде таблицы и изобразить графически.
2. Проанализировать вариационный ряд распределения, вычислив:
   • среднее арифметическое значение признака;
   • моду, медиану, 1-ый квартиль, 1-ый и 9-тый дециль;
   • среднее квадратичное отклонение;
   • коэффициент вариации.
3. Сделать выводы.

Требуется: ранжировать ряд, построить интервальный ряд распределения, вычислить среднее значение, колеблемость среднего значения, моду и медиану для ранжированного и интервального рядов.

На основе исходных данных построить дискретный вариационный ряд ; представить его в виде статистической таблицы и статистических графиков. 2). На основе исходных данных построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Число интервалов выбрать самостоятельно и объяснить этот выбор. Представить полученный вариационный ряд в виде статистической таблицы и статистических графиков. Указать виды примененных таблиц и графиков.

С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования представлены в таблице. Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0.9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда;
б) вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине);
в) объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0.9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине).
2. По данным задачи 1, используя X 2 критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – время обслуживания клиентов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Скачать решение

Дана выборка из 100 элементов. Необходимо:

1. Построить ранжированный вариационный ряд;
2. Найти максимальный и минимальный члены ряда;
3. Найти размах вариации и количество оптимальных промежутков для построения интервального ряда. Найти длину промежутка интервального ряда;
4. Построить интервальный ряд. Найти частоты попадания элементов выборки в составленные промежутки. Найти средние точки каждого промежутка;
5. Построить гистограмму и полигон частот. Сравнить с нормальным распределением (аналитически и графически);
6. Построить график эмпирической функции распределения;
7. Рассчитать выборочные числовые характеристики: выборочное среднее и центральный выборочный момент;
8. Рассчитать приближенные значения среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса (пользуясь пакетом анализа MS Excel). Сравнить приближенные расчетные значения с точными (рассчитанные по формулам MS Excel);
9. Сравнить выборочные графические характеристики с соответствующими теоретическими.

Скачать решение

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб. По исходным данным:
Задание 13.1.
13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
13.1.2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.
Задание 13.2.
13.2.1. Определите границы, в которых с вероятностью 0.997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
13.2.2. Используя x2-критерий Пирсона , при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.
Задание 13.3.
13.3.1. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии.
13.3.2. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
13.3.3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока .
Методические рекомендации . Задание 13.3 выполняется с помощью этого сервиса .
Скачать решение

Задача . Следующие данные представляют собой затраты времени клиентов на заключение договоров. Построить интервальный вариационный ряд представленных данных, гистограмму, найти несмещенную оценку математического ожидания, смещенную и несмещенную оценку дисперсии.

Пример . По данным таблицы 2:
1) Постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ:
А) по величине прибыли;
Б) по величине кредитных вложений.
2) По полученным рядам распределения определите:
А) прибыль в среднем на один коммерческий банк;
Б) кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк;
В) модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили;
Г) модальное и медианное значение кредитных вложений.
3) По полученным в п. 1 рядам распределения рассчитайте:
а) размах вариации;
б) среднее линейное отклонение;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации.
Необходимые расчеты оформите в табличной форме. Результаты проанализируйте. Сделайте выводы.
Постройте графики полученных рядов распределения. Графически определите моду и медиану.

Решение:
Для построения группировка с равными интервалами воспользуемся сервисом Группировка статистических данных .

Рисунок 1 – Ввод параметров

Описание параметров
Количество строк : количество исходных данных. Если размерность ряда небольшая, укажите его количество. Если выборка достаточно объемная, то нажмите кнопку Вставить из Excel .
Количество групп : 0 – число групп будет определяться по формуле Стэрджесса.
Если задано конкретное число групп, укажите его (например, 5).
Вид ряда : Дискретный ряд.
Уровень значимости : например, 0.954 . Этот параметр задается для определения доверительного интервала среднего значения.
Выборка : Например, проведена 10% -ная механическая выборка. Указываем число 10 . Для наших данных указываем 100 .

Словарь статистических терминов

Обшие вопросы статистики

ЧТО ТАКОЕ МЕДИЦИНСКАЯ СТАТИСТИКА?

Статистикой называют количественное описание и измерение событий, явлений, предметов. Ее понимают как отрасль практической деятельности (сбор, обработка и анализ данных о массовых явлениях), как отрасль знания, т.е. специальную научную дисциплину, и, как совокупность сводных, итоговых цифровых показателей, собранных для характеристики какой-либо области общественных явлений.

Статистика – наука, изучающая закономерности массовых явлений методом обобщающих показателей.

Медицинская статистика – самостоятельная общественная наука, изучающая количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, позволяющая методом обобщающих показателей изучить закономерности этих явлений, важнейших процессов в экономической, социальной жизни общества, его здоровье, системе организации медицинской помощи населению.

Статистические методы - это совокупность приемов обработки материалов массовых наблюдений, к которым относятся: группировка, сводка, получение показателей, их статистический анализ и т.д.

Статистические методы в медицине используются для:

1. изучение состояния общественного здоровья населения в целом и его основных групп путем сбора и анализа статистических данных о численности и составе населения, его воспроизводстве, физическом развитии, распространенности и длительности различных заболеваний и т.д.;
2. выявление и установление связей общего уровня заболеваемости и смертности от каких-либо отдельных болезней с различными факторами окружающей среды;
3. сбор и изучение числовых данных о сети медицинских учреждений, их деятельности и кадрах для планирования медико-санитарных мероприятий, контроля над выполнением планов развития сети и деятельности учреждений здравоохранения и оценки качества работы отдельных медицинских учреждений;
4. оценка эффективности мероприятий по предупреждению и лечению заболеваний;
5. определение статистической значимости результатов исследования в клинике и эксперименте.

Разделы медицинской статистики:

• общетеоретические и методические основы статистики,
• статистика здоровья населения,
• статистика здравоохранения.

СОЗДАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ В MS EXCEL

Для того, чтобы база данных была удобна для последующей обработки, следует придерживаться нехитрых принципов:

1) Оптимальной программой для создания базы данных является MS Excel. Данные из Excel в последующем могут без проблем переноситься в другие, специализированные статистические пакеты, такие как Statistica, SPSS и др. для более сложных манипуляций. Однако до 80-90% расчетов могут удобнейшим образом производиться в самой Excel с использованием надстройки "Анализ данных".

2) Верхняя строчка таблицы с базой данных оформляется как шапка, куда заносятся наименования тех показателей, которые учитываются в данном столбце. Нежелательно использовать слияние ячеек (это требование относится вообще ко всей базе), так как при этом многие операции станут недопустимы. Также не стоит создавать "двухэтажную" шапку, в которой верхняя строчка обозначает название группы однородных показателей, а нижняя - конкретные показатели. Для группировки однородных показателей лучше отметить их одноцветной заливкой или включить в их наименование группирующий признак в скобках.

Например , не так:

ОБЩИЙ АНАЛИЗ КРОВИ
ER	LEU	TR

ER(ОАК)

LEU(ОАК)

TR(ОАК)

в последнем варианте обеспечена и "одноэтажность" шапки, и наглядная однородность данных (все они относятся к показателям ОАК).

3) В первом столбце следует размещать порядковый номер пациента в данной базе, не привязывая его ни к одному из исследуемых показателей. Это позволит в последующем обеспечить легкий откат к исходному порядку пациентов на любом этапе, даже после многочисленных сортировок списка.

4) Второй столбец обычно заполняется фамилиями (или Ф.И.О.) пациентов.

5) Количественные показатели (те, которые измеряются числами, например - рост, вес, артериальное давление, ЧСС и т.п.) вписываются в таблицу в числовом формате. Казалось бы это и так понятно, однако следует помнить, что в Excel, начиная с 2007 версии, дробные величины обозначаются через точку: 4.5. Если записать число через запятую, то оно будет воспринято как текст, и эти столбцы придется переписывать.

6) С качественными показателями сложнее. Те из них, которые имеют два варианта значения (так называемые, бинарные величины: Да-Нет, Имеется-Отсутствует, Мужской-Женский), лучше переводить в двоичную систему: 0 и 1. Значение 1 обычно присваивается положительному значению (Да, Имеется), 0 - отрицательному (Нет, Отсутствует).

7) Качественные показатели, имеющие несколько значений, различающихся по степени выраженности, уровню явления (Слабый-Средний-Сильный; Холодный-Теплый-Горячий) могут быть ранжированы и, соответственно, также переведены в числа. Наименьшему уровню явления присваивается наименьший ранг - 0 или 1, следующие степени обозначаются значениями рангов по порядку. Например: Заболевание отсутствует - 0, легкой степени тяжести -1, средней степени - 2, тяжелой степени - 3.

8) Иногда одному качественному показателю соответствуют несколько значений. Например, в графе "Сопутствующий диагноз" при наличии нескольких заболеваний мы хотим указать их через запятую. Делать так не следует, поскольку обработка таких данных весьма затруднена и не может быть автоматизирована. Поэтому лучше сделать несколько столбцов с конкретными группами заболеваний ("заболевания ССС", "заболевания ЖКТ" и т.д.) или определенными нозологиями ("хр.гастрит", "ИБС" и т.д.), в которые данные заносим в бинарном, двоичном виде: 1 (что означает "Есть данное заболевание") - 0 ("Нет данного заболевания").

9) Для разграничения отдельных групп показателей можно активно пользоваться цветом: например столбцы с показателями ОАК выделяем красным цветом, данные ОАМ - желтым и т.д.

10) Каждому пациенту должна соответствовать одна строка таблицы.

Подобное оформление базы данных позволяет не только значительно упростить процесс ее статистической обработки, но и облегчить ее заполнение на этапе сбора материала.

КАКОЙ МЕТОД ВЫБРАТЬ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА?

После того, как собраны все данные, перед каждым исследователем встает вопрос выбора наиболее подходящего способа статистической обработки. И это неудивительно: современная статистика объединяет огромное количество всевозможных критериев и методов. Все они имеют свои особенности, могут подходить или не подходить для двух, казалось бы, схожих ситуаций. В этой статье мы постараемся систематизировать все основные, наиболее распространенные методы статистического анализа по их назначению.

Однако вначале несколько слов о том, какие бывают статистические данные, так как именно от этого зависит выбор наиболее подходящего метода анализа.

Шкала измерения

При проведении исследования у каждой единицы наблюдения определяются значения различных признаков. В зависимости от того, по какой шкале они измеряются, все признаки делятся на количественные и качественные . Качественные показатели в исследованиях распределяются по так называемой номинальной шкале. Кроме того, показатели могут быть представлены по ранговой шкале.

Например, проводится сравнение показателей сердечной деятельности у спортсменов и лиц, ведущих малоподвижный образ жизни.

При этом у исследуемых определялись следующие признаки:

• пол - является номинальным показателем, принимающим два значения - мужской или женский.
• возраст - количественный показатель,
• занятия спортом - номинальный показатель, принимающий два значения: занимается или не занимается,
• частота сердечных сокращений - количественный показатель,
• систолическое артериальное давление - количественный показатель,
• наличие жалоб на боли в грудной клетке - является качественным показателем, значения которого могут быть определены как по номинальной (есть жалобы - нет жалоб), так и по ранговой шкале в зависимости от частоты (например, если боль возникает несколько раз в день - показателю присваивается ранг 3, несколько раз в месяц - ранг 2, несколько раз в год - ранг 1, при отсутствии жалоб на боли в грудной клетке - ставится ранг 0).

Количество сопоставляемых совокупностей

Следующий вопрос, который необходимо решить для выбора статистического метода, заключается в количестве совокупностей, сопоставляемых в рамках исследования.

• В большинстве случаев, в клинических исследованиях мы имеем дело с двумя группами пациентов - основной и контрольной . Основной , или опытной , принято считать группу, в которой был применен изучаемый метод диагностики или лечения, или в которой пациенты страдают заболеванием, являющимся предметом данного исследования. Контрольную группу, напротив, составляют пациенты, получающие обычную медицинскую помощь, плацебо, или лица, у которых отсутствует изучаемое заболевание. Такие совокупности, представленные разными пациентами, называются несвязанными .
  Еще бывают связанные , или парные , совокупности, когда речь идет об одних и тех же людях, но сравниваются значения какого-либо признака, полученные до и после исследования. Число сравниваемых совокупностей при этом также равно 2, однако к ним применяются другие методики, нежели к несвязанным.
• Другим вариантом является описание одной совокупности, что, надо признать, вообще лежит в основе любого исследования. Даже если основной целью работы является сравнение двух или более групп, каждую из них необходимо предварительно охарактеризовать. Для этого используются методы описательной статистики . Кроме того, для одной совокупности могут применяться методы корреляционного анализа , используемые для нахождения связи между двумя или несколькими изучаемыми признаками (например, зависимость роста от массы тела или зависимость частоты сердечных сокращений от температуры тела).
• Наконец, сравниваемых совокупностей может быть несколько. Применительно к медицинским исследованиям это встречается очень часто. Пациенты могут быть сгруппированы в зависимости от применения различных препаратов (например, при сравнении эффективности антигипертензивных средств: 1 группа - ингибиторы АПФ, 2 - бета-адреноблокаторы, 3 - препараты центрального действия), по степени тяжести заболевания (1 группа - легкая степень, 2 - средняя, 3 - тяжелая) и т.д.

Важным также является вопрос нормальности распределения изучаемых совокупностей. От этого зависит, можно ли применять методы параметрического анализа или только непараметрического . Условиями, которые должны соблюдаться в нормально распределенных совокупностях, являются:

1. максимальная близость или равенство значений средней арифметической, моды и медианы;
2. соблюдение правила "трёх сигм" (в интервале М±1σ находятся не менее 68,3% вариант, в интервале М±2σ - не менее 95,5% вариант, в интервале М±3σ находятся не менее 99,7% вариант;
3. показатели измерены в количественной шкале;
4. положительные результаты проверки на нормальность распределения при помощи специальных критериев - Колмогорова-Смирнова или Шапиро-Уилка.

После определения всех указанных нами признаков изучаемых совокупностей, предлагаем воспользоваться следующей таблицей для выбора наиболее оптимального метода статистического анализа.

Метод	Шкала измерения показателей	Количество сравниваемых совокупностей	Цель обработки	Распределение данных
t-критерий Стьюдента	количественная	2		нормальное
t-критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони	количественная	3 и более	сравнение несвязанных совокупностей	нормальное
Парный t-критерий Стьюдента	количественная	2		нормальное
Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA)	количественная	3 и более	сравнение несвязанных совокупностей	нормальное
Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) с повторными измерениями	количественная	3 и более	сравнение связанных совокупностей	нормальное
U-критерий Манна-Уитни	количественная, ранговая	2	сравнение несвязанных совокупностей	любое
Q-критерий Розенбаума	количественная, ранговая	2	сравнение несвязанных совокупностей	любое
Критерий Краскелла-Уоллиса	количественная	3 и более	сравнение несвязанных совокупностей	любое
Критерий Уилкоксона	количественная, ранговая	2	сравнение связанных совокупностей	любое
G-критерий знаков	количественная, ранговая	2	сравнение связанных совокупностей	любое
Критерий Фридмана	количественная, ранговая	3 и более	сравнение связанных совокупностей	любое
Критерий χ 2 Пирсона	номинальная	2 и более	сравнение несвязанных совокупностей	любое
Точный критерий Фишера	номинальная	2	сравнение несвязанных совокупностей	любое
Тест Мак-Немара	номинальная	2	сравнение связанных совокупностей	любое
Q-критерий Кохрена	номинальная	3 и более	сравнение связанных совокупностей	любое
Относительный риск (Risk Ratio, RR)	номинальная	2	сравнение несвязанных совокупностей в когортных исследованиях	любое
Отношение шансов (Odds Ratio, OR)	номинальная	2	сравнение несвязанных совокупностей в исследованиях по типу «случай-контроль»	любое
Коэффициент корреляции Пирсона	количественная	2 ряда измерений		нормальное
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена	количественная, ранговая	2 ряда измерений	выявление связи между признаками	любое
Коэффициент корреляции Кендалла	количественная, ранговая	2 ряда измерений	выявление связи между признаками	любое
Коэффициент конкордации Кендалла	количественная, ранговая	3 и более рядов измерений	выявление связи между признаками	любое
Расчет средних величин (M) и средних ошибок (m)	количественная	1	описательная статистика	любое
Расчет медиан (Ме) и перцентилей (квартилей)	ранговая	1	описательная статистика	любое
Расчет относительных величин (Р) и средних ошибок (m)	номинальная	1	описательная статистика	любое
Критерий Шапиро-Уилка	количественная	1	анализ распределения	любое
Критерий Колмогорова-Смирнова	количественная	1	анализ распределения	любое
Критерий ω 2 Смирнова-Крамера-фон Мизеса	количественная	1	анализ распределения	любое
Метод Каплана-Мейера	любая	1	анализ выживаемости	любое
Модель пропорциональных рисков Кокса	любая	1	анализ выживаемости	любое

Великие учёные-статистики

Карл Пирсон (27 марта 1857 – 27 апреля 1936)

27 марта 1857 года родился Карл Пирсон - великий английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики.

Получив в возрасте 27 лет должность профессора прикладной математики в лондонском Университетском колледже, Карл Пирсон начал изучать статистику, которую воспринял как общенаучный инструмент, соответствующий его вовсе не общепринятым мыслям о необходимости обеспечить студентам широкий кругозор.

К основным заслугам Пирсона в области статистики можно отнести разработку основ теории корреляции и сопряженности признаков, введение “кривых Пирсона” для описания эмпирических распределений и исключительно важного критерия хи-квадрат, а также составление большого числа статистических таблиц. Пирсон применял статистический метод и особенно теорию корреляции во многих отраслях науки.

Вот одно из его высказываний: "Первому любительскому внедрению современных статистических методов в устоявшуюся науку противостоит типичное презрение. Но я дожил до того времени, когда многие из них начали скрытно применять те самые методы, которые они вначале осуждали".

И уже в 1920 г. Пирсон составил записку, в которой заявил, что цель биометрической школы "преобразовать статистику в ветвь прикладной математики, обобщить, отбросить или обосновать скудные методы старой школы политических и социальных статистиков, и, в общем, преобразовать статистику из спортплощадки для любителей и спорщиков в серьезную отрасль науки. Необходимо было критиковать несовершенные и часто ошибочные методы в медицине, антропологии, краниометрии, психологии, криминологии, биологии, социологии, чтобы обеспечить эти науки новыми и более мощными средствами. Битва длилась почти двадцать лет, но появилось много признаков того, что прежняя враждебность осталась позади, а новые методы приняты повсеместно".

Карл Пирсон отличался весьма разносторонними интересами: изучал физику в Гейдельберге, интересовался социальной и экономической ролью религии и даже читал лекции по немецкой истории и литературе в Кембридже и Лондоне.

Малоизвестен тот факт, что в возрасте 28 лет, Карл Пирсон читал лекции о “женском вопросе” и даже основал Клуб мужчин и женщин, просуществовавший до 1889 г., в котором свободно и неограниченно обсуждалось всё, касающееся женщин, включая взаимоотношения между полами.

Клуб состоял из равного числа мужчин и женщин, в основном, либеральных представителей среднего класса, социалистов и феминисток.

Предметом дискуссий клуба являлись вопросы самого широкого спектра: от сексуальных отношений в древнегреческих Афинах до положения буддийских монахинь, от отношения к браку до проблем проституции. В сущности, «Клуб мужчин и женщин» бросал вызов давно установленным нормам взаимодействия мужчин и женщин, а также представлениям о «правильной» сексуальности. В эпоху викторианской Англии, где многие воспринимали сексуальность как нечто «низменное» и «животное», а невежество в отношении полового воспитания было распространено повсеместно, обсуждение таких вопросов было действительно радикальным.

В 1898 г. Пирсон был награжден Королевским обществом Дарвинской медалью, от которой он отказался, считая, что награды “должны выдаваться молодым людям, чтобы поощрить их”.

Флоренс Найтингейл (12 мая 1820 – 13 августа 1910)

Флоренс Найтингейл (1820-1910) - сестра милосердия и общественная деятельница Великобритании, в день рождения которой мы сегодня отмечаем Международный день медицинской сестры.

Она родилась во Флоренции в богатой аристократической семье, получила блестящее образование, знала шесть языков. С юных лет мечтала стать сестрой милосердия, в 1853 году получила сестринское образование в общине сестёр пастора Флендера в Кайзерверте и стала управляющей небольшой частной больницей в Лондоне.

В октябре 1854 года, в период Крымской войны, Флоренс вместе с 38 помощницами отправилась в полевые госпитали в Крым. Организуя уход за ранеными, она последовательно проводила в жизнь принципы санитарии и гигиены. В результате менее чем за полгода смертность в лазаретах снизилась с 42 до 2,2%!

Поставив себе задачу реформировать медицинскую службу в армии, Найтингейл добилась того, чтобы госпитали были оснащены системами вентиляции и канализации; больничный персонал в обязательном порядке проходил необходимую подготовку. Была организована военно-медицинская школа, а среди солдат и офицеров велась разъяснительная работа о важности профилактики болезней.

Велики заслуги Флоренс Найтингейл в медицинской статистике!

• Её 800-страничная книга «Заметки о факторах, влияющих на здоровье, эффективность и управление госпиталями британской армии» (1858) содержала целый раздел, посвященный статистике и иллюстрированный диаграммами.
• Найтингейл стала новатором в использовании графических изображений в статистике. Она изобрела круговые диаграммы, которые называла «петушиный гребень» и использовала для описания структуры смертности. Многие из её диаграмм были включены в отчёт комиссии по проблемам здоровья в армии, благодаря которому было принято решение о реформировании армейской медицины.
• Разработала первую форму для сбора статистики в госпиталях, которая является предшественником современных отчетных форм о деятельности стационара.

В 1859 г. была избрана членом Королевского статистического общества и впоследствии стала почётным членом Американской статистической ассоциации.

⠀

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777 – 23 февраля 1855)

30 апреля 1777 года в городе Брауншвейг родился великий немецкий математик, механик, физик, астроном, геодезист и статистик Иоганн Карл Фридрих Гаусс.

Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Уже в три года Карл умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 50×101=5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

Основными научными заслугами Карла Гаусса в статистике являются создание метода наименьших квадратов, который лежит в основе регрессионного анализа.

Также он подробнейшим образом исследовал распространённый в природе нормальный закон распределения, график которого с тех пор часто называют гауссианой. Широкую известность получило правило «трёх сигм» (правило Гаусса) описывающее нормальное распределение.

Лев Семёнович Каминский (1889 – 1962)

В 75-ю годовщину Победы в Великой Отечественной войне хочется вспомнить и рассказать о замечательном ученом, одном из основателей военно-медицинской и санитарной статистики в СССР - Льве Семёновиче Каминском (1889-1962).

Он родился 27 мая 1889 года в Киеве. После окончания с отличием в 1918 г. медицинского факультета Петроградского университета Каминский находился в рядах Красной Армии, с апреля 1919 до конца 1920 г. занимал должность главного врача 136-го сводного эвакогоспиталя Юго-Восточного фронта.

С 1922 г. Лев Семёнович заведовал санитарно-эпидемиологическим отделом врачебно-санитарной службы Северо-Западной железной дороги. В эти годы началась научная деятельность Каминского под руководством проф. С.А.Новосельского. В их совместном фундаментальном труде «Потери в прошлых войнах» был проанализирован статистический материал о людских потерях в войнах различных армий мира с 1756 по 1918 г. В последующих работах Каминским была разработана и обоснована новая, более точная классификация военных потерь.

В монографии «Народное питание и народное здравие» (1929) были подробно рассмотрены санитарно-гигиенические аспекты влияния войн на здоровье населения, а также вопросы организации медицинской помощи населению и армии в годы войны.

С 1935 по 1943 год Лев Семёнович возглавляет отдел санитарной (с 1942 г. - медицинской) статистики Наркомздрава СССР. В октябре 1943 г. проф.Каминский становится начальником кафедры военно-медицинской статистики Военно-медицинской академии им. С.М.Кирова, а с 1956 г. занимает должность профессора кафедры статистики и учета в Ленинградском государственном университете.

Лев Семёнович выступал за широкое внедрение количественных методов в практику санитарной и медицинской статистики. В 1959 г. под его авторством было издано учебное пособие «Статистическая обработка лабораторных и клинических данных: применение статистики в научной и практической работе врача», на долгие годы ставшее одним из лучших отечественных учебников по медицинской статистике. В предисловии Л.С.Каминский отмечает:
«... Представляется важным, чтобы лечащие врачи знали, как взяться за дело, умели собирать и обрабатывать верные цифры, годные для сравнений и сопоставлений».

Критерии и методы

t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

t-критерий Стьюдента – общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

Данный критерий был разработан Уильямом Сили Госсетом

2. Для чего используется t-критерий Стьюдента?

t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента

3. В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch"s t).

При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна - Уитни .

4. Как рассчитать t-критерий Стьюдента?

Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М 1 - средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М 2 - средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m 1 - средняя ошибка первой средней арифметической, m 2 - средняя ошибка второй средней арифметической.

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n 1 и n 2). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

F = (n 1 + n 2) - 2

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

• Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
• Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе - получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй - 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй - 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.

Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:

После выполнения расчетов, значение t-критерия оказалось равным 4,51. Находим число степеней свободы как (34 + 40) - 2 = 72. Сравниваем полученное значение t-критерия Стьюдента 4,51 с критическим при р=0,05 значением, указанным в таблице: 1,993. Так как рассчитанное значение критерия больше критического, делаем вывод о том, что наблюдаемые различия статистически значимы (уровень значимости р<0,05).

ПАРНЫЙ t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

Парный t-критерий Стьюдента – одна из модификаций метода Стьюдента, используемая для определения статистической значимости различий парных (повторных) измерений.

1. История разработки t-критерия

t-критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

2. Для чего используется парный t-критерий Стьюдента?

Парный t-критерий Стьюдента используется для сравнения двух зависимых (парных) выборок. Зависимыми являются измерения, выполненные у одних и тех же пациентов, но в разное время, например, артериальное давление у больных гипертонической болезнью до и после приема антигипертензивного препарата. Нулевая гипотеза гласит об отсутствии различий между сравниваемыми выборками, альтернативная - о наличии статистически значимых различий.

3. В каких случаях можно использовать парный t-критерий Стьюдента?

Основным условием является зависимость выборок, то есть сравниваемые значения должны быть получены при повторных измерениях одного параметра у одних и тех же пациентов.

Как и в случае сравнения независимых выборок, для применения парного t-критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. При несоблюдении этого условия для сравнения выборочных средних должны использоваться методы непараметрической статистики, такие как G-критерий знаков или Т-критерий Вилкоксона .

Парный t-критерий может использоваться только при сравнении двухвыборок. Если необходимо сравнить три и более повторных измерений, следует использовать однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) для повторных измерений .

4. Как рассчитать парный t-критерий Стьюдента?

Парный t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М d - средняя арифметическая разностей показателей, измеренных до и после, σ d - среднее квадратическое отклонение разностей показателей, n - число исследуемых.

5. Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Интерпретация полученного значения парного t-критерия Стьюдента не отличается от оценки t-критерия для несвязанных совокупностей. Прежде всего, необходимо найти число степеней свободы f по следующей формуле:

F = n - 1

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p<0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

• Если рассчитанное значение парного t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
• Если значение рассчитанного парного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

6. Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для оценки эффективности нового гипогликемического средства были проведены измерения уровня глюкозы в крови пациентов, страдающих сахарным диабетом, до и после приема препарата. В результате были получены следующие данные:

Решение:

1. Рассчитаем разность каждой пары значений (d):

N пациента	Уровень глюкозы в крови, ммоль/л		Разность значений (d)
	до приема препарата	после приема препарата
1	9.6	5.7	3.9
2	8.1	5.4	2.7
3	8.8	6.4	2.4
4	7.9	5.5	2.4
5	9.2	5.3	3.9
6	8.0	5.2	2.8
7	8.4	5.1	3.3
8	10.1	6.9	3.2
9	7.8	7.5	2.3
10	8.1	5.0	3.1

2. Найдем среднюю арифметическую разностей по формуле:

3. Найдем среднее квадратическое отклонение разностей от средней по формуле:

4. Рассчитаем парный t-критерий Стьюдента:

5. Сравним полученное значение t-критерия Стьюдента 8.6 с табличным значением, которое при числе степеней свободы f равном 10 - 1 = 9 и уровне значимости p=0.05 составляет 2.262. Так как полученное значение больше критического, делаем вывод о наличии статистически значимых различий содержания глюкозы в крови до и после приема нового препарата.

Показать таблицу критических значений t-критерия Стьюдента

U-КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ

U-критерий Манна-Уитни – непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Метод основан на определении того, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя вариационными рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

1. История разработки U-критерия

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном .
В 1947 году он был существенно переработан и расширен математиками Х.Б. Манном (H.B. Mann) и Д.Р. Уитни (D.R. Whitney), по именам которых сегодня обычно и называется.

2. Для чего используется U-критерий Манна-Уитни?

U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо количественного признака.

3. В каких случаях можно использовать U-критерий Манна-Уитни?

U-критерий Манна-Уитни является непараметрическим критерием, поэтому, в отличие от t-критерия Стьюдента

U-критерий подходит для сравнения малых выборок: в каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было 2 значения, но во второй тогда должно быть не менее пяти.

Условием для применения U-критерия Манна-Уитни является отсутствие в сравниваемых группах совпадающих значений признака (все числа – разные) или очень малое число таких совпадений.

Аналогом U-критерия Манна-Уитни для сравнения трех и более групп является Критерий Краскела-Уоллиса .

4. Как рассчитать U-критерий Манна-Уитни?

Сначала из обеих сравниваемых выборок составляется единый ранжированный ряд , путем расставления единиц наблюдения по степени возрастания признака и присвоения меньшему значению меньшего ранга. В случае равных значений признака у нескольких единиц каждой из них присваивается среднее арифметическое последовательных значений рангов.

Например, две единицы, занимающие в едином ранжированном ряду 2 и 3 место (ранг), имеют одинаковые значения. Следовательно, каждой из них присваивается ранг равный (3 + 2) / 2 = 2,5.

В составленном едином ранжированном ряду общее количество рангов получится равным:

N = n 1 + n 2

где n 1 - количество элементов в первой выборке, а n 2 - количество элементов во второй выборке.

Далее вновь разделяем единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок, запоминая при этом значения рангов для каждой единицы. Подсчитываем отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. Определяем большую из двух ранговых сумм (T x) соответствующую выборке с n x элементами.

Наконец, находим значение U-критерия Манна-Уитни по формуле:

5. Как интерпретировать значение U-критерия Манна-Уитни?

Полученное значение U-критерия сравниваем по таблице для избранного уровня статистической значимости (p=0.05 или p=0.01) с критическим значением U при заданной численности сопоставляемых выборок:

• Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается статистическая значимость различий между уровнями признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U.
• Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза.

Показать таблицу критических значений U-критерия Манна-Уитни при p=0.05

КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА

Критерий Уилкоксона для связанных выборок (также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) – непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух связанных (парных) выборок по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.

Суть метода состоит в том, что сопоставляются абсолютные величины выраженности сдвигов в том или ином направлении. Для этого сначала все абсолютные величины сдвигов ранжируются, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в ту или иную сторону происходят случайно, то и суммы их рангов окажутся примерно равны. Если же интенсивность сдвигов в одну сторону больше, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

1. История разработки критерия Уилкоксона для связанных выборок

Тест был впервые предложен в 1945 году американским статистиком и химиком Фрэнком Уилкоксоном (1892-1965). В той же научной работе автором был описан еще один критерий, применяемый в случае сравнения независимых выборок.

2. Для чего используется критерий Уилкоксона?

Т-критерий Уилкоксона используется для оценки различий между двумя рядами измерений, выполненных для одной и той же совокупности исследуемых, но в разных условиях или в разное время. Данный тест способен выявить направленность и выраженность изменений - то есть, являются ли показатели больше сдвинутыми в одном направлении, чем в другом.

Классическим примером ситуации, в которой может применяться Т-критерий Уилкоксона для связанных совокупностей, является исследование "до-после", когда сравниваются показатели до и после лечения. Например, при изучении эффективности антигипертензивного средства сравнивается артериальное давление до приема препарата и после приема.

3. Условия и ограничения применения Т-критерия Уилкоксона

1. Критерий Уилкоксона является непараметрическим критерием, поэтому, в отличие от парного t-критерия Стьюдента , не требует наличия нормального распределения сравниваемых совокупностей.
2. Число исследуемых при использовании T-критерия Уилкоксона должно быть не менее 5.
3. Изучаемый признак может быть измерен как в количественной непрерывной (артериальное давление, ЧСС, содержание лейкоцитов в 1 мл крови), так и в порядковой шкале (число баллов, степень тяжести заболевания, степень обсемененности микроорганизмами).
4. Данный критерий используется только в случае сравнения двух рядов измерений. Аналогом Т-критерия Уилкоксона для сравнения трех и более связанных совокупностей является Критерий Фридмана .

4. Как рассчитать Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок?

1. Вычислить разность между значениями парных измерений для каждого исследуемого. Нулевые сдвиги далее не учитываются.
2. Определить, какие из разностей являются типичными, то есть соответствуют преобладающему по частоте направлению изменения показателя.
3. Проранжировать разности пар по их абсолютным значениям (то есть, без учета знака), в порядке возрастания. Меньшему абсолютному значению разности приписывается меньший ранг.
4. Рассчитать сумму рангов, соответствующих нетипичным сдвигам.

Таким образом, Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок рассчитывается по следующей формуле:

где ΣRr - сумма рангов, соответствующих нетипичным изменениям показателя.

5. Как интерпретировать значение критерия Уилкоксона?

Полученное значение T-критерия Уилкоксона сравниваем с критическим по таблице для избранного уровня статистической значимости (p=0.05 или p=0.01 ) при заданной численности сопоставляемых выборок n:

• Если расчетное (эмпирическое) значение Т эмп. меньше табличного Т кр. или равно ему, то признается статистическая значимость изменений показателя в типичную сторону (принимается альтернативная гипотеза). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение Т.
• Если Т эмп. больше Т кр. , принимается нулевая гипотеза об отсутствии статистической значимости изменений показателя.

Пример расчета критерия Уилкоксона для связанных выборок

Фармацевтической компанией проводится исследование нового препарата из группы нестероидных противовоспалительных средств. Для этого отобрана группа из 10 добровольцев, страдающих ОРВИ с гипертермией. У них была измерена температура тела до и через 30 минут после приема нового препарата. Требуется сделать вывод о значимости снижения температуры тела в результате приема препарата.

1. Исходные данные оформлены в виде следующей таблицы:
2. Для расчета Т-критерия Уилкоксона рассчитаем разности парных показателей и проранжируем их абсолютные значения. При этом нетипичные ранги выделим красным шрифтом:

   N	Фамилия	t тела до приема препарата	t тела после приема препарата	Разность показателей, d	|d|	Ранг
   1.	Иванов	39.0	37.6	-1.4	1.4	7
   2.	Петров	39.5	38.7	-0.8	0.8	5
   3.	Сидоров	38.6	38.7	0.1	0.1	1.5
   4.	Попов	39.1	38.5	-0.6	0.6	4
   5.	Николаев	40.1	38.6	-1.5	1.5	8
   6.	Козлов	39.3	37.5	-1.8	1.8	9
   7.	Игнатьев	38.9	38.8	-0.1	0.1	1.5
   8.	Семенов	39.2	38.0	-1.2	1.2	6
   9.	Егоров	39.8	39.8	0	—	—
   10.	Алексеев	38.8	39.3	0.5	0.5	3

   Как мы видим, типичным сдвигом показателя является его снижение, отмеченное в 7 случаях из 10. В одном случае (у пациента Егорова) - температура после приема препарата не изменилась, в связи с чем данный случай не использовался в дальнейшем анализе. В двух случаях (у пациентов Сидорова и Алексеева) отмечался нетипичный сдвиг температуры в сторону повышения. Ранги, соответствующие нетипичному сдвигу, равны 1.5 и 3.
3. Рассчитаем Т-критерий Уилкоксона, который равен сумме рангов, соответствующих нетипичному сдвигу показателя:

   T = ΣRr = 3 + 1.5 = 4.5

4. Сравниваем Т эмп. с Т кр. , который при уровне значимости p=0.05 и n=9 равен 8. Следовательно, Т эмп.
5. Делаем вывод: снижение температуры тела у пациентов с ОРВИ в результате приема нового препарата является статистически значимым (р<0.05).

Показать таблицу критических значений Т-критерия Уилкоксона

КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА

Критерий χ 2 Пирсона – это непараметрический метод, который позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы. Выражаясь проще, метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей).

1. История разработки критерия χ 2

Критерий хи-квадрат для анализа таблиц сопряженности был разработан и предложен в 1900 году английским математиком, статистиком, биологом и философом, основателем математической статистики и одним из основоположников биометрики Карлом Пирсоном (1857-1936).

2. Для чего используется критерий χ 2 Пирсона?

Критерий хи-квадрат может применяться при анализе таблиц сопряженности , содержащих сведения о частоте исходов в зависимости от наличия фактора риска. Например, четырехпольная таблица сопряженности выглядит следующим образом:

	Исход есть (1)	Исхода нет (0)	Всего
Фактор риска есть (1)	A	B	A + B
Фактор риска отсутствует (0)	C	D	C + D
Всего	A + C	B + D	A + B + C + D

Как заполнить такую таблицу сопряженности? Рассмотрим небольшой пример.

Проводится исследование влияния курения на риск развития артериальной гипертонии. Для этого были отобраны две группы исследуемых - в первую вошли 70 человек, ежедневно выкуривающих не менее 1 пачки сигарет, во вторую - 80 некурящих такого же возраста. В первой группе у 40 человек отмечалось повышенное артериальное давление. Во второй - артериальная гипертония наблюдалась у 32 человек. Соответственно, нормальное артериальное давление в группе курильщиков было у 30 человек (70 - 40 = 30) а в группе некурящих - у 48 (80 - 32 = 48).

Заполняем исходными данными четырехпольную таблицу сопряженности:

В полученной таблице сопряженности каждая строчка соответствует определенной группе исследуемых. Столбцы - показывают число лиц с артериальной гипертонией или с нормальным артериальным давлением.

Задача, которая ставится перед исследователем: имеются ли статистически значимые различия между частотой лиц с артериальным давлением среди курящих и некурящих? Ответить на этот вопрос можно, рассчитав критерий хи-квадрат Пирсона и сравнив получившееся значение с критическим.

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в номинальной шкале (например, пол пациента - мужской или женский) или в порядковой (например, степень артериальной гипертензии, принимающая значения от 0 до 3).
2. Данный метод позволяет проводить анализ не только четырехпольных таблиц, когда и фактор, и исход являются бинарными переменными, то есть имеют только два возможных значения (например, мужской или женский пол, наличие или отсутствие определенного заболевания в анамнезе...). Критерий хи-квадрат Пирсона может применяться и в случае анализа многопольных таблиц, когда фактор и (или) исход принимают три и более значений.
3. Сопоставляемые группы должны быть независимыми, то есть критерий хи-квадрат не должен применяться при сравнении наблюдений "до-"после". В этих случаях проводится тест Мак-Немара (при сравнении двух связанных совокупностей) или рассчитывается Q-критерий Кохрена (в случае сравнения трех и более групп).
4. При анализе четырехпольных таблиц ожидаемые значения в каждой из ячеек должны быть не менее 10. В том случае, если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление принимает значение от 5 до 9, критерий хи-квадрат должен рассчитываться с поправкой Йейтса . Если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление меньше 5, то для анализа должен использоваться точный критерий Фишера .
5. В случае анализа многопольных таблиц ожидаемое число наблюдений не должно принимать значения менее 5 более чем в 20% ячеек.

4. Как рассчитать критерий хи-квадрат Пирсона?

Для расчета критерия хи-квадрат необходимо:

Данный алгоритм применим как для четырехпольных, так и для многопольных таблиц.

5. Как интерпретировать значение критерия хи-квадрат Пирсона?

В том случае, если полученное значение критерия χ 2 больше критического, делаем вывод о наличии статистической взаимосвязи между изучаемым фактором риска и исходом при соответствующем уровне значимости.

6. Пример расчета критерия хи-квадрат Пирсона

Определим статистическую значимость влияния фактора курения на частоту случаев артериальной гипертонии по рассмотренной выше таблице:

1. Рассчитываем ожидаемые значения для каждой ячейки:
2. Находим значение критерия хи-квадрат Пирсона:

   χ 2 = (40-33.6) 2 /33.6 + (30-36.4) 2 /36.4 + (32-38.4) 2 /38.4 + (48-41.6) 2 /41.6 = 4.396.

3. Число степеней свободы f = (2-1)*(2-1) = 1. Находим по таблице критическое значение критерия хи-квадрат Пирсона, которое при уровне значимости p=0.05 и числе степеней свободы 1 составляет 3.841.
4. Сравниваем полученное значение критерия хи-квадрат с критическим: 4.396 > 3.841, следовательно зависимость частоты случаев артериальной гипертонии от наличия курения - статистически значима. Уровень значимости данной взаимосвязи соответствует p<0.05.

Показать таблицу критических значений критерия хи-квадрат Пирсона

ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ ФИШЕРА

Точный критерий Фишера – это критерий, который используется для сравнения двух относительных показателей, характеризующих частоту определенного признака, имеющего два значения. Исходные данные для расчета точного критерия Фишера обычно группируются в виде четырехпольной таблицы.

1. История разработки критерия

Впервые критерий был предложен Рональдом Фишером в его книге «Проектирование экспериментов». Это произошло в 1935 году. Сам Фишер утверждал, что на эту мысль его натолкнула Муриэль Бристоль. В начале 1920-х годов Рональд, Муриэль и Уильям Роуч находились в Англии на опытной сельскохозяйственной станции. Муриэль утверждала, что может определить, в какой последовательности наливали в ее чашку чай и молоко. На тот момент проверить правильность ее высказывания не представлялось возможным.

Это дало толчок идее Фишера о «нуль гипотезе». Целью стала не попытка доказать, что Муриэль может определить разницу между по-разному приготовленными чашками чая. Решено было опровергнуть гипотезу, что выбор женщина делает наугад. Было определено, что нуль-гипотезу нельзя ни доказать, ни обосновать. Зато ее можно опровергнуть во время экспериментов.

Было приготовлено 8 чашек. В первые четыре налито молоко сначала, в другие четыре – чай. Чашки были помешаны. Бристоль предложили опробовать чай на вкус и разделить чашки по методу приготовления чая. В результате должно было получиться две группы. История говорит, что эксперимент прошел удачно.

Благодаря тесту Фишера вероятность того, что Бристоль действует интуитивно, была уменьшена до 0.01428. То есть, верно определить чашку можно было в одном случае из 70. Но все же нет возможности свести к нулю шансы того, что мадам определяет случайно. Даже если увеличивать число чашек.

Эта история дала толчок развитию «нуль гипотезы». Тогда же был предложен точный критерий Фишера, суть которого в переборе всех возможных комбинаций зависимой и независимой переменных.

2. Для чего используется точный критерий Фишера?

Точный критерий Фишера в основном применяется для сравнения малых выборок. Этому есть две весомые причины. Во-первых, вычисления критерия довольно громоздки и могут занимать много времени или требовать мощных вычислительных ресурсов. Во-вторых, критерий довольно точен (что нашло отражение даже в его названии), что позволяет его использовать в исследованиях с небольшим числом наблюдений.

Особое место отводится точному критерию Фишера в медицине. Это важный метод обработки медицинских данных, нашедший свое применение во многих научных исследованиях. Благодаря ему можно исследовать взаимосвязь определенных фактора и исхода, сравнивать частоту патологических состояний между двумя группами исследуемых и т.д.

3. В каких случаях можно использовать точный критерий Фишера?

1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в номинальной шкале и иметь только два значения, например, артериальное давление в норме или повышено, исход благоприятный или неблагоприятный, послеоперационные осложнения есть или нет.
2. Точный критерий Фишера предназначен для сравнения двух независимых групп, разделенных по факторному признаку. Соответственно, фактор также должен иметь только два возможных значения.
3. Критерий подходит для сравнения очень малых выборок: точный критерий Фишера может применяться для анализа четырехполных таблиц в случае значений ожидаемого явления менее 5, что является ограничением для применения критерия хи-квадрат Пирсона , даже с учетом поправки Йейтса.
4. Точный критерий Фишера бывает односторонним и двусторонним. При одностороннем варианте точно известно, куда отклонится один из показателей. Например, во время исследования сравнивают, сколько пациентов выздоровело по сравнению с группой контроля. Предполагают, что терапия не может ухудшить состояние пациентов, а только либо вылечить, либо нет.
   Двусторонний тест оценивает различия частот по двум направлениям. То есть оценивается верятность как большей, так и меньшей частоты явления в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой.

Аналогом точного критерия Фишера является Критерий хи-квадрат Пирсона , при этом точный критерий Фишера обладает более высокой мощностью, особенно при сравнении малых выборок, в связи с чем в этом случае обладает преимуществом.

4. Как рассчитать точный критерий Фишера?

Допустим, изучается зависимость частоты рождения детей с врожденными пороками развития (ВПР) от курения матери во время беременности. Для этого выбраны две группы беременных женщин, одна из которых - экспериментальная, состоящая из 80 женщин, куривших в первом триместре беременности, а вторая - группа сравнения, включающая 90 женщин, ведущих здоровый образ жизни на протяжении всей беременности. Число случаев ВПР плода в экспериментальной группе составило 10, в группе сравнения - 2.

Вначале составляем четырехпольную таблицу сопряженности:

Точный критерий Фишера рассчитывается по следующей формуле:

где N - общее число исследуемых в двух группах; ! - факториал, представляющий собой произведение числа на последовательность чисел, каждое из которых меньше предыдущего на 1 (например, 4! = 4 · 3 · 2 · 1)

В результате вычислений находим, что P = 0,0137.

5. Как интерпретировать значение точного критерия Фишера?

Достоинством метода является соответствие полученного критерия точному значению уровня значимости p. То есть, полученное в нашем примере значение 0,0137 и есть уровень значимости различий сравниваемых групп по частоте развития ВПР плода. Необходимо лишь сопоставить данное число с критическим уровнем значимости, обычно принимаемым в медицинских исследованиях за 0,05.

• Если значение точного критерия Фишера больше критического, принимается нулевая гипотеза и делается вывод об отсутствии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от наличия фактора риска.
• Если значение точного критерия Фишера меньше критического, принимается альтернативная гипотеза и делается вывод о наличии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от воздействия фактора риска.

В нашем примере P < 0,05, в связи с чем делаем вывод о наличии прямой взаимосвязи курения и вероятности развития ВПР плода. Частота возникновения врожденной патологии у детей курящих женщин статистически значимо выше, чем у некурящих.

ОТНОШЕНИЕ ШАНСОВ

Отношение шансов – статистический показатель (на русском его название принято сокращать как ОШ, а на английском - OR от "odds ratio"), один из основных способов описать в численном выражении то, насколько отсутствие или наличие определённого исхода связано с присутствием или отсутствием определённого фактора в конкретной статистической группе.

1. История разработки показателя отношения шансов

Термин "шанс" пришел из теории азартных игр, где при помощи данного понятия обозначали отношение выигрышных позиций к проигрышным. В научной медицинской литературе показатель отношения шансов был впервые упомянут в 1951 году в работе Дж. Корнфилда. Впоследствие данным исследователем были опубликованы работы, в которых отмечалась необходимость расчета 95% доверительного интервала для отношения шансов. (Cornfield, J. A Method for Estimating Comparative Rates from Clinical Data. Applications to Cancer of the Lung, Breast, and Cervix // Journal of the National Cancer Institute, 1951. - N.11. - P.1269–1275.)

2. Для чего используется показатель отношения шансов?

Отношение шансов позволяет оценить связь между определенным исходом и фактором риска.

Отношение шансов позволяет сравнить группы исследуемых по частоте выявления определенного фактора риска. Важно, что результатом применения отношения шансов является не только определение статистической значимости связи между фактором и исходом, но и ее количественная оценка.

3. Условия и ограничения применения отношения шансов

1. Результативные и факторные показатели должны быть измерены в номинальной шкале. Например, результативный признак - наличие или отсутствие врожденного порока развития у плода, изучаемый фактор - курение матери (курит или не курит).
2. Данный метод позволяет проводить анализ только четырехпольных таблиц, когда и фактор, и исход являются бинарными переменными, то есть имеют только два возможных значения (например, пол - мужской или женский, артериальная гипертония - наличие или отсутствие, исход заболевания - с улучшением или без улучшения...).
3. Сопоставляемые группы должны быть независимыми, то есть показатель отношения шансов не подходит для сравнения наблюдений "до-"после".
4. Показатель отношения шансов используется в исследованиях по типу "случай-контроль" (например, первая группа - больные гипертонической болезнью, вторая - относительно здоровые люди). Для проспективных исследований, когда группы формируются по признаку наличия или отсутствия фактора риска (например, первая группа - курящие, вторая группа - некурящие), может также рассчитываться относительный риск .

4. Как рассчитать отношение шансов?

Отношение шансов – это значение дроби, в числителе которой, находятся шансы определённого события для первой группы, а в знаменателе шансы того же события для второй группы.

Шансом является отношение числа исследуемых, имеющих определенный признак (исход или фактор), к числу исследуемых, у которых данный признак отсутствует.

Например, была отобрана группа пациентов, прооперированных по поводу панкреонекроза, число которых составило 100 человек. Через 5 лет из их числа в живых осталось 80 человек. Соответственно, шанс выжить составил 80 к 20, или 4.

Удобным способом является расчёт отношения шансов со сведением данных в таблицу 2х2:

	Исход есть (1)	Исхода нет (0)	Всего
Фактор риска есть (1)	A	B	A + B
Фактор риска отсутствует (0)	C	D	C + D
Всего	A + C	B + D	A + B + C + D

Для данной таблицы отношение шансов рассчитывается по следующей формуле:

Очень важно оценить статистическую значимость выявленной связи между исходом и фактором риска. Связано это с тем, что даже при невысоких значениях отношения шансов, близких к единице, связь, тем не менее, может оказаться существенной и должна учитываться в статистических выводах. И наоборот, при больших значениях OR, показатель оказывается статистически незначимым, и, следовательно, выявленной связью можно пренебречь.

Для оценки значимости отношения шансов рассчитываются границы 95% доверительного интервала (используется абрревиатура 95% ДИ или 95% CI от англ. "confidence interval"). Формула для нахождения значения верхней границы 95% CI:

Формула для нахождения значения нижней границы 95% CI:

5. Как интерпретировать значение отношения шансов?

• Если отношение шансов превышает 1, то это означает, что шансы обнаружить фактор риска больше в группе с наличием исхода. Т.е. фактор имеет прямую связь с вероятностью наступления исхода.
• Отношение шансов, имеющее значение меньше 1, свидетельствует о том, что шансы обнаружить фактор риска больше во второй группе. Т.е. фактор имеет обратную связь с вероятностью наступления исхода.
• При отношении шансов, равном единице, шансы обнаружить фактор риска в сравниваемых группах одинакова. Соответственно, фактор не оказывает никакого воздействия на вероятность исхода.

Дополнительно в каждом случае обязательно оценивается статистическая значимость отношения шансов исходя из значений 95% доверительного интервала.

• Если доверительный интервал не включает 1, т.е. оба значения границ или выше, или ниже 1, делается вывод о статистической значимости выявленной связи между фактором и исходом при уровне значимости p<0,05.
• Если доверительный интервал включает 1, т.е. его верхняя граница больше 1, а нижняя - меньше 1, делается вывод об отсутствии статистической значимости связи между фактором и исходом при уровне значимости p>0,05.
• Величина доверительного интервала обратно пропорциональна уровню значимости связи фактора и исхода, т.е. чем меньше 95% ДИ, тем более существенной является выявленная зависимость.

6. Пример расчета показателя отношения шансов

Представим две группы: первая состояла из 200 женщин, у которых был диагностирован врожденный порок развития плода (Исход+). Из них курили во время беременности (Фактор+) - 50 человек (А) , являлись некурящими (Фактор-) - 150 человек (С) .

Вторую группу составили 100 женщин без признаков ВПР плода (Исход -) среди которых курили во время беременности (Фактор+) 10 человек (B) , не курили (Фактор-) - 90 человек (D) .

1. Составим четырехпольную таблицу сопряженности:

2. Рассчитаем значение отношения шансов:

OR = (A * D) / (B * C) = (50 * 90) / (150 * 10) = 3.

3. Найдем границы 95% CI. Значение нижней границы, рассчитанной по указанной выше формуле составило 1,45, а верхней - 6,21.

Таким образом, исследование показало, что шансы встретить курящую женщину среди пациенток с диагностированным ВПР плода в 3 раза выше, чем среди женщин без признаков ВПР плода. Наблюдаемая зависимость является статистически значимой, так как 95% CI не включает 1, значения его нижней и верхней границ больше 1.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ РИСК

Риск – это вероятность появления определенного исхода, например, болезни или травмы. Риск может принимать значения от 0 (вероятность наступления исхода отсутствует) до 1 (во всех случаях ожидается неблагоприятный исход). В медицинской статистике, как правило, изучаются изменения риска наступления исхода в зависимости от какого-либо фактора. Пациенты условно разделяются на 2 группы, на одну из которых фактор влияет, на другую – нет.

Относительный риск – это отношение частоты исходов среди исследуемых, на которых оказывал влияние изучаемый фактор, к частоте исходов среди исследуемых, не подвергавшихся влиянию этого фактора. В научной литературе часто используют сокращенное название показателя - ОР или RR (от англ. "relative risk").

1. История разработки показателя относительного риска

Расчет относительного риска заимствован медицинской статистикой из экономики. Правильная оценка влияния политических, экономических и социальных факторов на востребованность товара или услуги может привести к успеху, а недооценка этих факторов - к финансовым неудачам и банкротству предприятия.

2. Для чего используется относительный риск?

Относительный риск используется для сравнения вероятности исхода в зависимости от наличия фактора риска. Например, при оценке влияния курения на частоту гипертонической болезни, при изучении зависимости частоты рака молочной железы от приема оральных контрацептивов и др. Относительный риск - важнейший показатель в назначении определенных методов лечения или проведении исследований с возможными побочными эффектами.

3. Условия и ограничения применения относительного риска

1. Показатели фактора и исхода должны быть измерены в номинальной шкале (например, пол пациента - мужской или женский, артериальная гипертония - есть или нет).
2. Данный метод позволяет проводить анализ только четырехпольных таблиц, когда и фактор, и исход являются инарными переменными, то есть имеют только два возможных значения (например, возраст младше или старше 50 лет, наличие или отсутствие определенного заболевания в анамнезе).
3. Относительный риск применяется при проспективных исследованиях, когда исследуемые группы формируются по признаку наличия или отсутствия фактора риска. При исследованиях по принципу "случай-контроль" вместо относительного риска должен использоваться показатель отношения шансов .

4. Как рассчитать относительный риск?

Для расчета относительного риска необходимо:

5. Как интерпретировать значение относительного риска?

Показатель относительного риска сравнивается с 1 для того, чтобы определить характер связи фактора и исхода:

• Если ОР равен 1, можно сделать вывод, что исследуемый фактор не влияет на вероятность исхода (отсутствие связи между фактором и исходом).
• При значениях более 1 делается вывод о том, что фактор повышает частоту исходов (прямая связь).
• При значениях менее 1 - о снижении вероятности исхода при воздействии фактора (обратная связь).

Также обязательно оцениваются значения границ 95% доверительного интервала. Если оба значения - и нижней, и верхней границы - находятся по одну сторону от 1, или, другими словами, доверительный интервал не включает 1, то делается вывод о статистической значимости выявленной связи между фактором и исходом с вероятностью ошибки p<0,05.

Если нижняя граница 95% ДИ меньше 1, а верхняя - больше, то делается вывод об отсутствии статистической значимости влияния фактора на частоту исхода, независимо от величины показателя ОР (p>0,05).

6. Пример расчета показателя относительного риска

В 1999 году в Оклахоме проводились исследования заболеваемости мужчин язвой желудка. В качестве влияющего фактора было выбрано регулярное потребление фастфуда. В первой группе находились 500 мужчин, постоянно питающихся быстрой пищей, среди которых язву желудка диагностировали у 96 человек. Во вторую группу были отобраны 500 сторонников здорового питания, среди которых язва желудка была диагностирована в 31 случае. Исходя из полученных данных была построена следующая таблица сопряженности:

КРИТЕРИЙ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА

​ Критерий корреляции Пирсона – это метод параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Другими словами, критерий корреляции Пирсона позволяет определить, изменяется ли (возрастает или уменьшается) один показатель в ответ на изменения другого? В статистических расчетах и выводах коэффициент корреляции обычно обозначается как r xy или R xy .

1. История разработки критерия корреляции

Критерий корреляции Пирсона был разработан командой британских ученых во главе с Карлом Пирсоном (1857-1936) в 90-х годах 19-го века, для упрощения анализа ковариации двух случайных величин. Помимо Карла Пирсона над критерием корреляции Пирсона работали также Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон .

2. Для чего используется критерий корреляции Пирсона?

Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.

Например, при помощи критерия корреляции Пирсона можно ответить на вопрос о наличии связи между температурой тела и содержанием лейкоцитов в крови при острых респираторных инфекциях, между ростом и весом пациента, между содержанием в питьевой воде фтора и заболеваемостью населения кариесом.

3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале (например, частота сердечных сокращений, температура тела, содержание лейкоцитов в 1 мл крови, систолическое артериальное давление).
2. Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа .
3. Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа .
4. Критерий корреляции Пирсона является параметрическим, в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение каждой из сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена .
5. Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.

Например, рост ребенка зависит от его возраста, то есть чем старше ребенок, тем он выше. Если мы возьмем двух детей разного возраста, то с высокой долей вероятности рост старшего ребенка будет больше, чем у младшего. Данное явление и называется зависимостью, подразумевающей причинно-следственную связь между показателями. Разумеется, между ними имеется и корреляционная связь, означающая, что изменения одного показателя сопровождаются изменениями другого показателя.

В другой ситуации рассмотрим связь роста ребенка и частоты сердечных сокращений (ЧСС). Как известно, обе эти величины напрямую зависят от возраста, поэтому в большинстве случаев дети большего роста (а значит и более старшего возраста) будут иметь меньшие значения ЧСС. То есть, корреляционная связь будет наблюдаться и может иметь достаточно высокую тесноту. Однако, если мы возьмем детей одного возраста, но разного роста, то, скорее всего, ЧСС у них будет различаться несущественно, в связи с чем можно сделать вывод о независимости ЧСС от роста.

Приведенный пример показывает, как важно различать фундаментальные в статистике понятия связи и зависимости показателей для построения верных выводов.

4. Как рассчитать коэффициента корреляции Пирсона?

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:

5. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?

Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r xy > 0.7 - о сильной связи.

Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока:

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:

Полученное значение t r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t r превышает t крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.

6. Пример расчета коэффициента корреляции Пирсона

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице:

КРИТЕРИЙ СПИРМЕНА

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена – это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

1. История разработки коэффициента ранговой корреляции

Данный критерий был разработан и предложен для проведения корреляционного анализа в 1904 году Чарльзом Эдвардом Спирменом , английским психологом, профессором Лондонского и Честерфилдского университетов.

2. Для чего используется коэффициент Спирмена?

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для выявления и оценки тесноты связи между двумя рядами сопоставляемых количественных показателей. В том случае, если ранги показателей, упорядоченных по степени возрастания или убывания, в большинстве случаев совпадают (большему значению одного показателя соответствует большее значение другого показателя - например, при сопоставлении роста пациента и его массы тела), делается вывод о наличии прямой корреляционной связи. Если ранги показателей имеют противоположную направленность (большему значению одного показателя соответствует меньшее значение другого - например, при сопоставлении возраста и частоты сердечных сокращений), то говорят об обратной связи между показателями.

Коэффициент корреляции Спирмена обладает следующими свойствами:
1. Коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до единицы, причем при rs=1 имеет место строго прямая связь, а при rs= -1 – строго обратная связь.
2. Если коэффициент корреляции отрицательный, то имеет место обратная связь, если положительный, то – прямая связь.
3. Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь между величинами практически отсутствует.
4. Чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем более сильной является связь между измеряемыми величинами.

3. В каких случаях можно использовать коэффициент Спирмена?

В связи с тем, что коэффициент является методом непараметрического анализа, проверка на нормальность распределения не требуется.

Сопоставляемые показатели могут быть измерены как в непрерывной шкале (например, число эритроцитов в 1 мкл крови), так и в порядковой (например, баллы экспертной оценки от 1 до 5).

Эффективность и качество оценки методом Спирмена снижается, если разница между различными значениями какой-либо из измеряемых величин достаточно велика. Не рекомендуется использовать коэффициент Спирмена, если имеет место неравномерное распределение значений измеряемой величины.

4. Как рассчитать коэффициент Спирмена?

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

5. Как интерпретировать значение коэффициента Спирмена?

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента меньше 0,3 - признаком слабой тесноты связи; значения более 0,3, но менее 0,7 - признаком умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - признаком высокой тесноты связи.

Также для оценки тесноты связи может использоваться шкала Чеддока .

Статистическая значимость полученного коэффициента оценивается при помощи t-критерия Стьюдента. Если расчитанное значение t-критерия меньше табличного при заданном числе степеней свободы, статистическая значимость наблюдаемой взаимосвязи - отсутствует. Если больше, то корреляционная связь считается статистически значимой.

МЕТОД КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА

Критерий Колмогорова-Смирнова – непараметрический критерий согласия, в классическом понимании предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки некоторому известному закону распределения. Наиболее известно применение данного критерия для проверки исследуемых совокупностей на нормальность распределения.

1. История разработки критерия Колмогорова-Смирнова

Критерий Колмогорова-Смирнова был разработан советскими математиками Андреем Николаевичем Колмогоровым и Николаем Васильевичем Смирновым .
Колмогоров А.Н. (1903-1987) - Герой Социалистического Труда, профессор Московского государственного университета, академик АН СССР - крупнейший математик XX века, является одним из основоположников современной теории вероятности.
Смирнов Н.В. (1900-1966)- член-корреспондент АН СССР, один из создателей непараметрических методов математической статистики и теории предельных распределений порядковых статистик.

Впоследствии критерий согласия Колмогорова-Смирнова был доработан с целью применения для проверки совокупностей на нормальность распределения американским статистиком, профессором Университета Джорджа Вашингтона Хьюбертом Лиллиефорсом (Hubert Whitman Lilliefors, 1928-2008). Профессор Лиллиефорс являлся одним из пионеров применения компьютерной техники в статистических расчётах.

Хьюберт Лиллиефорс

2. Для чего используется критерий Колмогорова-Смирнова?

Данный критерий позволяет оценить существенность различий между распределениями двух выборок, в том числе возможно его применение для оценки соответствия распределения исследуемой выборки закону нормального распределения.

3. В каких случаях можно использовать критерий Колмогорова-Смирнова?

Критерий Колмогорова-Смирнова предназначен для проверки на нормальность распределения совокупностей количественных данных.

Для большей достоверности полученных данных объемы рассматриваемых выборок должен быть достаточно большими: n ≥ 50. При размерах оцениваемой совокупности от 25 до 50 элементов, целесообразно применение поправки Большева.

4. Как рассчитать критерий Колмогорова-Смирнова?

Критерий Колмогорова-Смирнова рассчитывается при помощи специальных статистических программ. В основе лежит статистика вида:

где sup S - точная верхняя грань множества S, F n - функция распределения исследуемой совокупности, F(x) - функция нормального распределения

Выводимые значения вероятности основаны на предположении, что среднее и стандартное отклонение нормального распределения известны априори и не оцениваются из данных.

Однако на практике обычно параметры вычисляются непосредственно из данных. В этом случае критерий нормальности включает сложную гипотезу ("насколько вероятно получить D статистику данной или большей значимости, зависящей от среднего и стандартного отклонения, вычисленных из данных"), и приводятся вероятности Лиллиефорса (Lilliefors, 1967).

5. Как интерпретировать значение критерия Колмогорова-Смирнова?

Если D статистика Колмогорова-Смирнова значима (p<0,05), то гипотеза о том, что соответствующее распределение нормально, должна быть отвергнута.